Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ como una ecuación.

$y = \frac{x^{3} - 1}{2}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y^{3} - 1}{2}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y^{3} - 1}{2} = x$ .

$\frac{y^{3} - 1}{2} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{y^{3} - 1}{2} = 2 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{3} - 1}{2} = 2 x$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} - 1 = 2 x$

Paso 3.4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{3} = 2 x + 1$

Paso 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{2 x + 1}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} - 1}{2}) + 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} - 1^{3}}{2}) + 1}$

Paso 5.2.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{2}) + 1}$

Paso 5.2.3.3

Simplifica.

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Paso 5.2.3.3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{2}) + 1}$

Paso 5.2.3.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2}) + 1}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2}) + 1}$

Paso 5.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 1}$

Paso 5.2.5

Expande $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 + 1}$

Paso 5.2.6

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.6.1

Combina los términos opuestos en $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Paso 5.2.6.1.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot 1$ y $- 1 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 + 1}$

Paso 5.2.6.1.2

Resta $1 x$ de $1 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1 + 1}$

Paso 5.2.6.1.3

Suma $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Paso 5.2.6.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.6.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.6.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.2.6.2.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Paso 5.2.6.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Paso 5.2.6.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Paso 5.2.6.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Paso 5.2.6.2.3

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Paso 5.2.6.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 + 1}$

Paso 5.2.6.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.6.3.1

Combina los términos opuestos en $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ .

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Paso 5.2.6.3.1.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0 - 1 + 1}$

Paso 5.2.6.3.1.2

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} - 1 + 1}$

Paso 5.2.6.3.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.2.6.3.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Paso 5.2.6.3.2.2

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Paso 5.2.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\sqrt[3]{2 x + 1})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x + 1})}^{3} - 1}{2}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{{\sqrt[3]{2 x + 1}}^{3} - 1^{3}}{2}$

Paso 5.3.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = \sqrt[3]{2 x + 1}$ y $b = 1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) ({\sqrt[3]{2 x + 1}}^{2} + \sqrt[3]{2 x + 1} \cdot 1 + 1^{2})}{2}$

Paso 5.3.3.3

Simplifica.

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Paso 5.3.3.3.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2 x + 1}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} \cdot 1 + 1^{2})}{2}$

Paso 5.3.3.3.2

Multiplica $\sqrt[3]{2 x + 1}$ por $1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} + 1^{2})}{2}$

Paso 5.3.3.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} + 1)}{2}$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$