Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$ como una ecuación.

$y = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{\sqrt{y + 7}}{4}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{\sqrt{y + 7}}{4} = x$ .

$\frac{\sqrt{y + 7}}{4} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{\sqrt{y + 7}}{4} = 4 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{\sqrt{y + 7}}{4} = 4 x$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{y + 7} = 4 x$

Paso 3.4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y + 7}}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 3.5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 7}$ como ${(y + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica ${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.5.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 3.5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 3.5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 7)}^{1} = {(4 x)}^{2}$

Paso 3.5.2.1.2

Simplifica.

$y + 7 = {(4 x)}^{2}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Simplifica ${(4 x)}^{2}$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $4 x$ .

$y + 7 = 4^{2} x^{2}$

Paso 3.5.3.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y + 7 = 16 x^{2}$

Paso 3.6

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 16 x^{2} - 7$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2} - 7$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 16 x^{2} - 7$ es la inversa de $f (x) = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 {(\frac{\sqrt{x + 7}}{4})}^{2} - 7$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{x + 7}}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{\sqrt{x + 7}}^{2}}{4^{2}}) - 7$

Paso 5.2.3.2

Reescribe ${\sqrt{x + 7}}^{2}$ como $x + 7$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 7}$ como ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}}) - 7$

Paso 5.2.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}}) - 7$

Paso 5.2.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}) - 7$

Paso 5.2.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}) - 7$

Paso 5.2.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{x + 7}{4^{2}}) - 7$

Paso 5.2.3.2.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{x + 7}{4^{2}}) - 7$

Paso 5.2.3.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{x + 7}{16}) - 7$

Paso 5.2.3.4

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 5.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{x + 7}{16}) - 7$

Paso 5.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = x + 7 - 7$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 7 - 7$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $7$ de $7$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (16 x^{2} - 7)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{\sqrt{(16 x^{2} - 7) + 7}}{4}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Suma $- 7$ y $7$ .

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{\sqrt{16 x^{2} + 0}}{4}$

Paso 5.3.3.2

Suma $16 x^{2}$ y $0$ .

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{\sqrt{16 x^{2}}}{4}$

Paso 5.3.3.3

Reescribe $16 x^{2}$ como ${(4 x)}^{2}$ .

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{\sqrt{{(4 x)}^{2}}}{4}$

Paso 5.3.3.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.3.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (16 x^{2} - 7) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 16 x^{2} - 7$ es la inversa de $f (x) = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2} - 7$