Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} x - 1$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{2} x - 1$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{2} x - 1$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{2} y - 1$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} y - 1 = x$ .

$\frac{1}{2} y - 1 = x$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $y$ .

$\frac{y}{2} - 1 = x$

Paso 3.3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{2} = x + 1$

Paso 3.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (x + 1)$

Paso 3.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y}{2} = 2 (x + 1)$

Paso 3.5.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 2 (x + 1)$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica $2 (x + 1)$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 x + 2 \cdot 1$

Paso 3.5.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = 2 x + 2$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 x + 2$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 2 x + 2$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} x - 1$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{2} x - 1)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x - 1) = 2 (\frac{1}{2} x - 1) + 2$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x - 1) = 2 (\frac{x}{2} - 1) + 2$

Paso 5.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x - 1) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2$

Paso 5.2.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x - 1) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2$

Paso 5.2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x - 1) = x + 2 \cdot - 1 + 2$

Paso 5.2.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x - 1) = x - 2 + 2$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 2 + 2$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x - 1) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x - 1) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (2 x + 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (2 x + 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 2) - 1$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (2 x + 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 2 - 1$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (2 x + 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot 2 - 1$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (2 x + 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 2 - 1$

Paso 5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (2 x + 2) = x + \frac{1}{2} \cdot 2 - 1$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (2 x + 2) = x + \frac{1}{2} \cdot 2 - 1$

Paso 5.3.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (2 x + 2) = x + 1 - 1$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 1 - 1$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (2 x + 2) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (2 x + 2) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 2 x + 2$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} x - 1$ .

$f^{- 1} (x) = 2 x + 2$