Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{7}{4 x + 12}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{7}{4 x + 12}$ como una ecuación.

$y = \frac{7}{4 x + 12}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{7}{4 y + 12}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{7}{4 y + 12} = x$ .

$\frac{7}{4 y + 12} = x$

Paso 3.2

Factoriza $4$ de $4 y + 12$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $4$ de $4 y$ .

$\frac{7}{4 (y) + 12} = x$

Paso 3.2.2

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{7}{4 y + 4 \cdot 3} = x$

Paso 3.2.3

Factoriza $4$ de $4 y + 4 \cdot 3$ .

$\frac{7}{4 (y + 3)} = x$

Paso 3.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$4 (y + 3), 1$

Paso 3.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$4 (y + 3)$

Paso 3.4

Multiplica cada término en $\frac{7}{4 (y + 3)} = x$ por $4 (y + 3)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.4.1

Multiplica cada término en $\frac{7}{4 (y + 3)} = x$ por $4 (y + 3)$ .

$\frac{7}{4 (y + 3)} (4 (y + 3)) = x (4 (y + 3))$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \frac{7}{4 (y + 3)} (y + 3) = x (4 (y + 3))$

Paso 3.4.2.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{7}{4 (y + 3)} (y + 3) = x (4 (y + 3))$

Paso 3.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{y + 3} (y + 3) = x (4 (y + 3))$

Paso 3.4.2.3

Cancela el factor común de $y + 3$ .

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Paso 3.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{7}{y + 3} (y + 3) = x (4 (y + 3))$

Paso 3.4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$7 = x (4 (y + 3))$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$7 = 4 x (y + 3)$

Paso 3.4.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$7 = 4 x y + 4 x \cdot 3$

Paso 3.4.3.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$7 = 4 x y + 12 x$

Paso 3.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $4 x y + 12 x = 7$ .

$4 x y + 12 x = 7$

Paso 3.5.2

Resta $12 x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x y = 7 - 12 x$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $4 x y = 7 - 12 x$ por $4 x$ y simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $4 x y = 7 - 12 x$ por $4 x$ .

$\frac{4 x y}{4 x} = \frac{7}{4 x} + \frac{- 12 x}{4 x}$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x y}{4 x} = \frac{7}{4 x} + \frac{- 12 x}{4 x}$

Paso 3.5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y}{x} = \frac{7}{4 x} + \frac{- 12 x}{4 x}$

Paso 3.5.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{7}{4 x} + \frac{- 12 x}{4 x}$

Paso 3.5.3.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{7}{4 x} + \frac{- 12 x}{4 x}$

Paso 3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 12$ y $4$ .

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Paso 3.5.3.3.1.1.1

Factoriza $4$ de $- 12 x$ .

$y = \frac{7}{4 x} + \frac{4 (- 3 x)}{4 x}$

Paso 3.5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.3.3.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$y = \frac{7}{4 x} + \frac{4 (- 3 x)}{4 (x)}$

Paso 3.5.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{7}{4 x} + \frac{4 (- 3 x)}{4 x}$

Paso 3.5.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{7}{4 x} + \frac{- 3 x}{x}$

Paso 3.5.3.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.5.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{7}{4 x} + \frac{- 3 x}{x}$

Paso 3.5.3.3.1.2.2

Divide $- 3$ por $1$ .

$y = \frac{7}{4 x} - 3$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 x} - 3$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 x} - 3$ es la inversa de $f (x) = \frac{7}{4 x + 12}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x + 12})} - 3$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $4$ de $4 x + 12$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 (x) + 12})} - 3$

Paso 5.2.3.1.2

Factoriza $4$ de $12$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x + 4 \cdot 3})} - 3$

Paso 5.2.3.1.3

Factoriza $4$ de $4 x + 4 \cdot 3$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 (x + 3)})} - 3$

Paso 5.2.3.2

Combina $4$ y $\frac{7}{4 (x + 3)}$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 (x + 3)}} - 3$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $4$ por $7$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{\frac{28}{4 (x + 3)}} - 3$

Paso 5.2.3.4

Reduce la expresión $\frac{28}{4 (x + 3)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.4.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 (x + 3)}} - 3$

Paso 5.2.3.4.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 (x + 3)}} - 3$

Paso 5.2.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = \frac{7}{\frac{7}{x + 3}} - 3$

Paso 5.2.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = 7 (\frac{x + 3}{7}) - 3$

Paso 5.2.3.6

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.2.3.6.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = 7 (\frac{x + 3}{7}) - 3$

Paso 5.2.3.6.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = x + 3 - 3$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 3 - 3$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{4 x + 12}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{7}{4 x} - 3)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x} - 3) + 12}$

Paso 5.3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $4$ de $4 (\frac{7}{4 x} - 3) + 12$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x} - 3) + 4 \cdot 3}$

Paso 5.3.3.1.2

Factoriza $4$ de $4 (\frac{7}{4 x} - 3) + 4 \cdot 3$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x} - 3 + 3)}$

Paso 5.3.3.2

Suma $- 3$ y $3$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x} + 0)}$

Paso 5.3.3.3

Suma $\frac{7}{4 x}$ y $0$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{4 (\frac{7}{4 x})}$

Paso 5.3.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.4.1

Combina $4$ y $\frac{7}{4 x}$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 x}}$

Paso 5.3.4.2

Multiplica $4$ por $7$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{\frac{28}{4 x}}$

Paso 5.3.4.3

Reduce la expresión $\frac{28}{4 x}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.4.3.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 x}}$

Paso 5.3.4.3.2

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 (x)}}$

Paso 5.3.4.3.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{\frac{4 \cdot 7}{4 x}}$

Paso 5.3.4.3.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = \frac{7}{\frac{7}{x}}$

Paso 5.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = 7 (\frac{x}{7})$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.6.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = 7 (\frac{x}{7})$

Paso 5.3.6.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7}{4 x} - 3) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 x} - 3$ es la inversa de $f (x) = \frac{7}{4 x + 12}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 x} - 3$