Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$ como una ecuación.

$y = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{6 y + 4}{4 y + 5}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{6 y + 4}{4 y + 5} = x$ .

$\frac{6 y + 4}{4 y + 5} = x$

Paso 3.2

Factoriza $2$ de $6 y + 4$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $2$ de $6 y$ .

$\frac{2 (3 y) + 4}{4 y + 5} = x$

Paso 3.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (3 y) + 2 (2)}{4 y + 5} = x$

Paso 3.2.3

Factoriza $2$ de $2 (3 y) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} = x$

Paso 3.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$4 y + 5, 1$

Paso 3.3.2

Elimina los paréntesis.

$4 y + 5, 1$

Paso 3.3.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$4 y + 5$

Paso 3.4

Multiplica cada término en $\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} = x$ por $4 y + 5$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.4.1

Multiplica cada término en $\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} = x$ por $4 y + 5$ .

$\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} (4 y + 5) = x (4 y + 5)$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $4 y + 5$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} (4 y + 5) = x (4 y + 5)$

Paso 3.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$2 (3 y + 2) = x (4 y + 5)$

Paso 3.4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (3 y) + 2 \cdot 2 = x (4 y + 5)$

Paso 3.4.2.3

Multiplica.

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Paso 3.4.2.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 y + 2 \cdot 2 = x (4 y + 5)$

Paso 3.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$6 y + 4 = x (4 y + 5)$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 y + 4 = x (4 y) + x \cdot 5$

Paso 3.4.3.2

Reordena.

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Paso 3.4.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 y + 4 = 4 x y + x \cdot 5$

Paso 3.4.3.2.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$6 y + 4 = 4 x y + 5 x$

Paso 3.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.5.1

Resta $4 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$6 y + 4 - 4 x y = 5 x$

Paso 3.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$6 y - 4 x y = 5 x - 4$

Paso 3.5.3

Factoriza $2 y$ de $6 y - 4 x y$ .

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Paso 3.5.3.1

Factoriza $2 y$ de $6 y$ .

$2 y (3) - 4 x y = 5 x - 4$

Paso 3.5.3.2

Factoriza $2 y$ de $- 4 x y$ .

$2 y (3) + 2 y (- 2 x) = 5 x - 4$

Paso 3.5.3.3

Factoriza $2 y$ de $2 y (3) + 2 y (- 2 x)$ .

$2 y (3 - 2 x) = 5 x - 4$

Paso 3.5.4

Divide cada término en $2 y (3 - 2 x) = 5 x - 4$ por $2 (3 - 2 x)$ y simplifica.

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Paso 3.5.4.1

Divide cada término en $2 y (3 - 2 x) = 5 x - 4$ por $2 (3 - 2 x)$ .

$\frac{2 y (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)} = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

Paso 3.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)} = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

Paso 3.5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y (3 - 2 x)}{3 - 2 x} = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

Paso 3.5.4.2.2

Cancela el factor común de $3 - 2 x$ .

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Paso 3.5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (3 - 2 x)}{3 - 2 x} = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

Paso 3.5.4.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

Paso 3.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 3.5.4.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (3 - 2 x)}$

Paso 3.5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.4.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (3 - 2 x)}$

Paso 3.5.4.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 2}{3 - 2 x}$

Paso 3.5.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} - \frac{2}{3 - 2 x}$

Paso 3.5.4.3.2

Para escribir $- \frac{2}{3 - 2 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} - \frac{2}{3 - 2 x} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.5.4.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 (3 - 2 x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.5.4.3.3.1

Multiplica $\frac{2}{3 - 2 x}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} - \frac{2 \cdot 2}{(3 - 2 x) \cdot 2}$

Paso 3.5.4.3.3.2

Reordena los factores de $(3 - 2 x) \cdot 2$ .

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} - \frac{2 \cdot 2}{2 (3 - 2 x)}$

Paso 3.5.4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{5 x - 2 \cdot 2}{2 (3 - 2 x)}$

Paso 3.5.4.3.5

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$y = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{6 x + 4}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $2$ de $6 x + 4$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x) + 4}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{6 x + 4}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.3.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x) + 2 (2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{6 x + 4}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.3.1.3

Factoriza $2$ de $2 (3 x) + 2 (2)$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{6 x + 4}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.3.2

Factoriza $2$ de $6 x + 4$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x) + 4}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.3.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x) + 2 (2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.3.2.3

Factoriza $2$ de $2 (3 x) + 2 (2)$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.4.1

Multiplica $5 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Combina $5$ y $\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{5 (2 (3 x + 2))}{4 x + 5} - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.4.1.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{10 (3 x + 2)}{4 x + 5} - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.4.2

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4 x + 5}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{10 (3 x + 2)}{4 x + 5} - 4 \cdot \frac{4 x + 5}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.4.3

Combina $- 4$ y $\frac{4 x + 5}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{10 (3 x + 2)}{4 x + 5} + \frac{- 4 (4 x + 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{10 (3 x + 2) - 4 (4 x + 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.4.5

Reescribe $\frac{10 (3 x + 2) - 4 (4 x + 5)}{4 x + 5}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.4.5.1

Factoriza $2$ de $10 (3 x + 2) - 4 (4 x + 5)$ .

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Paso 5.2.4.5.1.1

Factoriza $2$ de $10 (3 x + 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (5 (3 x + 2)) - 4 (4 x + 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.4.5.1.2

Factoriza $2$ de $- 4 (4 x + 5)$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (5 (3 x + 2)) + 2 (- 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.4.5.1.3

Factoriza $2$ de $2 (5 (3 x + 2)) + 2 (- 2 (4 x + 5))$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (5 (3 x + 2) - 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.4.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (5 (3 x) + 5 \cdot 2 - 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.4.5.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 5 \cdot 2 - 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.4.5.4

Multiplica $5$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 10 - 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.4.5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 10 - 2 (4 x) - 2 \cdot 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.4.5.6

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 10 - 8 x - 2 \cdot 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.4.5.7

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 10 - 8 x - 10)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.4.5.8

Resta $8 x$ de $15 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (7 x + 10 - 10)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.4.5.9

Resta $10$ de $10$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (7 x + 0)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.4.5.10

Suma $7 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 \cdot (7 x)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.4.5.11

Multiplica $2$ por $7$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.5.1

Multiplica $- 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Combina $- 2$ y $\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (3 + \frac{- 2 (2 (3 x + 2))}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.5.1.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (3 + \frac{- 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (3 - \frac{(4) (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.5.3

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4 x + 5}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{3 (4 x + 5)}{4 x + 5} - \frac{4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{3 (4 x + 5) - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.5.5

Reescribe $\frac{3 (4 x + 5) - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.5.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{3 (4 x) + 3 \cdot 5 - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.5.5.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 3 \cdot 5 - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.5.5.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 15 - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.5.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 15 - 4 (3 x) - 4 \cdot 2}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.5.5.5

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 15 - 12 x - 4 \cdot 2}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.5.5.6

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 15 - 12 x - 8}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.5.5.7

Resta $12 x$ de $12 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{0 + 15 - 8}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.5.5.8

Suma $0$ y $15$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{15 - 8}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.5.5.9

Resta $8$ de $15$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{7}{4 x + 5})}$

Paso 5.2.6

Combina fracciones.

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Paso 5.2.6.1

Combina $2$ y $\frac{7}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{\frac{2 \cdot 7}{4 x + 5}}$

Paso 5.2.6.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{\frac{14}{4 x + 5}}$

Paso 5.2.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{14 x}{4 x + 5} \cdot \frac{4 x + 5}{14}$

Paso 5.2.8

Cancela el factor común de $14$ .

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Paso 5.2.8.1

Factoriza $14$ de $14 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{14 (x)}{4 x + 5} \cdot \frac{4 x + 5}{14}$

Paso 5.2.8.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{14 x}{4 x + 5} \cdot \frac{4 x + 5}{14}$

Paso 5.2.8.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{x}{4 x + 5} \cdot (4 x + 5)$

Paso 5.2.9

Cancela el factor común de $4 x + 5$ .

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Paso 5.2.9.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{x}{4 x + 5} \cdot (4 x + 5)$

Paso 5.2.9.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{6 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 4}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $2$ de $6 \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)} + 4$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $6 \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (3 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)})) + 4}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.3.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (3 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)})) + 2 (2)}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.3.1.3

Factoriza $2$ de $2 (3 \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 2 (2)$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (3 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 2)}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.3.2

Combina $3$ y $\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x - 4)}{2 (3 - 2 x)} + 2)}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.3.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x - 4)}{2 (3 - 2 x)} + 2 \cdot \frac{2 (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.3.4

Combina $2$ y $\frac{2 (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x - 4)}{2 (3 - 2 x)} + \frac{2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x - 4) + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.3.6

Reescribe $\frac{3 (5 x - 4) + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x) + 3 \cdot - 4 + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.3.6.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x + 3 \cdot - 4 + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.3.6.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.3.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 (2 \cdot 3 + 2 (- 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.3.6.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 (6 + 2 (- 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.3.6.6

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 (6 - 4 x)}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.3.6.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 \cdot 6 + 2 (- 4 x)}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.3.6.8

Multiplica $2$ por $6$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 12 + 2 (- 4 x)}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.3.6.9

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 12 - 8 x}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.3.6.10

Resta $8 x$ de $15 x$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x - 12 + 12}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.3.6.11

Suma $- 12$ y $12$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x + 0}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.3.6.12

Suma $7 x$ y $0$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{2 (2) (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Paso 5.3.4.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{2 \cdot (2 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)})) + 5}$

Paso 5.3.4.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{2 (\frac{5 x - 4}{3 - 2 x}) + 5}$

Paso 5.3.4.2

Combina $2$ y $\frac{5 x - 4}{3 - 2 x}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{2 (5 x - 4)}{3 - 2 x} + 5}$

Paso 5.3.4.3

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 - 2 x}{3 - 2 x}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{2 (5 x - 4)}{3 - 2 x} + \frac{5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

Paso 5.3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{2 (5 x - 4) + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

Paso 5.3.4.5

Reescribe $\frac{2 (5 x - 4) + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.4.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{2 (5 x) + 2 \cdot - 4 + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

Paso 5.3.4.5.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x + 2 \cdot - 4 + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

Paso 5.3.4.5.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x - 8 + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

Paso 5.3.4.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x - 8 + 5 \cdot 3 + 5 (- 2 x)}{3 - 2 x}}$

Paso 5.3.4.5.5

Multiplica $5$ por $3$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x - 8 + 15 + 5 (- 2 x)}{3 - 2 x}}$

Paso 5.3.4.5.6

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x - 8 + 15 - 10 x}{3 - 2 x}}$

Paso 5.3.4.5.7

Resta $10 x$ de $10 x$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{0 - 8 + 15}{3 - 2 x}}$

Paso 5.3.4.5.8

Resta $8$ de $0$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{- 8 + 15}{3 - 2 x}}$

Paso 5.3.4.5.9

Suma $- 8$ y $15$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Paso 5.3.5

Combina $2$ y $\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 (3 - 2 x)}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Paso 5.3.6

Multiplica $2$ por $7$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{14 x}{2 (3 - 2 x)}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Paso 5.3.7

Reduce la expresión $\frac{14 x}{2 (3 - 2 x)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.7.1

Factoriza $2$ de $14 x$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 (3 - 2 x)}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Paso 5.3.7.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 (3 - 2 x)}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Paso 5.3.7.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{7 x}{3 - 2 x}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Paso 5.3.8

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{7 x}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 - 2 x}{7}$

Paso 5.3.9

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.9.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{7 (x)}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 - 2 x}{7}$

Paso 5.3.9.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{7 x}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 - 2 x}{7}$

Paso 5.3.9.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{x}{3 - 2 x} \cdot (3 - 2 x)$

Paso 5.3.10

Cancela el factor común de $3 - 2 x$ .

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Paso 5.3.10.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{x}{3 - 2 x} \cdot (3 - 2 x)$

Paso 5.3.10.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$