Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3 x \sqrt{x}}{8}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{3 x \sqrt{x}}{8}$ como una ecuación.

$y = \frac{3 x \sqrt{x}}{8}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{3 y \sqrt{y}}{8}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3 y \sqrt{y}}{8} = x$ .

$\frac{3 y \sqrt{y}}{8} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{3} \cdot \frac{3 y \sqrt{y}}{8} = \frac{8}{3} x$

Paso 3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica $\frac{8}{3} \cdot \frac{3 y \sqrt{y}}{8}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8}{3} \cdot \frac{3 y \sqrt{y}}{8} = \frac{8}{3} x$

Paso 3.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (3 y \sqrt{y}) = \frac{8}{3} x$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 y \sqrt{y}$ .

$\frac{1}{3} (3 (y \sqrt{y})) = \frac{8}{3} x$

Paso 3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (3 (y \sqrt{y})) = \frac{8}{3} x$

Paso 3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y \sqrt{y} = \frac{8}{3} x$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Combina $\frac{8}{3}$ y $x$ .

$y \sqrt{y} = \frac{8 x}{3}$

Paso 3.4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(y \sqrt{y})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Paso 3.5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y \cdot y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica ${(y \cdot y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Multiplica $y$ por $y^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.2.1.1.1

Multiplica $y$ por $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.5.2.1.1.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

${(y^{1} y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Paso 3.5.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(y^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Paso 3.5.2.1.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Paso 3.5.2.1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(y^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Paso 3.5.2.1.1.4

Suma $2$ y $1$ .

${(y^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Paso 3.5.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.5.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Paso 3.5.2.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Paso 3.5.2.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = {(\frac{8 x}{3})}^{2}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Simplifica ${(\frac{8 x}{3})}^{2}$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.5.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{8 x}{3}$ .

$y^{3} = \frac{{(8 x)}^{2}}{3^{2}}$

Paso 3.5.3.1.1.2

Aplica la regla del producto a $8 x$ .

$y^{3} = \frac{8^{2} x^{2}}{3^{2}}$

Paso 3.5.3.1.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$y^{3} = \frac{64 x^{2}}{3^{2}}$

Paso 3.5.3.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y^{3} = \frac{64 x^{2}}{9}$

Paso 3.6

Resuelve $y$

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Paso 3.6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{64 x^{2}}{9}}$

Paso 3.6.2

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{64 x^{2}}{9}}$ .

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Paso 3.6.2.1

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{64 x^{2}}{9}}$ como $\frac{\sqrt[3]{64 x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{64 x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$

Paso 3.6.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.2.2.1

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4^{3} x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$

Paso 3.6.2.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$

Paso 3.6.2.3

Multiplica $\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Paso 3.6.2.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.6.2.4.1

Multiplica $\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{9}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Paso 3.6.2.4.2

Eleva $\sqrt[3]{9}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Paso 3.6.2.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1 + 2}}$

Paso 3.6.2.4.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{3}}$

Paso 3.6.2.4.5

Reescribe ${\sqrt[3]{9}}^{3}$ como $9$ .

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Paso 3.6.2.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{9}$ como $9^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{(9^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.6.2.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.6.2.4.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.6.2.4.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.6.2.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.6.2.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{1}}$

Paso 3.6.2.4.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9}$

Paso 3.6.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.2.5.1

Reescribe ${\sqrt[3]{9}}^{2}$ como $\sqrt[3]{9^{2}}$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{9^{2}}}{9}$

Paso 3.6.2.5.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{81}}{9}$

Paso 3.6.2.5.3

Reescribe $81$ como $3^{3} \cdot 3$ .

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Paso 3.6.2.5.3.1

Factoriza $27$ de $81$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{27 (3)}}{9}$

Paso 3.6.2.5.3.2

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}}{9}$

Paso 3.6.2.5.4

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot 3 \sqrt[3]{3}}{9}$

Paso 3.6.2.5.5

Combina exponentes.

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Paso 3.6.2.5.5.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$y = \frac{12 \sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{3}}{9}$

Paso 3.6.2.5.5.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{12 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{9}$

Paso 3.6.2.6

Cancela el factor común de $12$ y $9$ .

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Paso 3.6.2.6.1

Factoriza $3$ de $12 \sqrt[3]{3 x^{2}}$ .

$y = \frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}{9}$

Paso 3.6.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$y = \frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3 (3)}$

Paso 3.6.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3 \cdot 3}$

Paso 3.6.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$ es la inversa de $f (x) = \frac{3 x \sqrt{x}}{8}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 {(\frac{3 x \sqrt{x}}{8})}^{2}}}{3}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 x \sqrt{x}}{8}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{{(3 x \sqrt{x})}^{2}}{8^{2}})}}{3}$

Paso 5.2.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.2.1

Aplica la regla del producto a $3 x \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{{(3 x)}^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{8^{2}})}}{3}$

Paso 5.2.3.2.2

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{3^{2} x^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{8^{2}})}}{3}$

Paso 5.2.3.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{8^{2}})}}{3}$

Paso 5.2.3.2.4

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 5.2.3.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8^{2}})}}{3}$

Paso 5.2.3.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{2}})}}{3}$

Paso 5.2.3.2.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} x^{\frac{2}{2}}}{8^{2}})}}{3}$

Paso 5.2.3.2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} x^{\frac{2}{2}}}{8^{2}})}}{3}$

Paso 5.2.3.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} x}{8^{2}})}}{3}$

Paso 5.2.3.2.4.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{2} x}{8^{2}})}}{3}$

Paso 5.2.3.2.5

Combina exponentes.

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Paso 5.2.3.2.5.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 (x \cdot x^{2})}{8^{2}})}}{3}$

Paso 5.2.3.2.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{1 + 2}}{8^{2}})}}{3}$

Paso 5.2.3.2.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{3}}{8^{2}})}}{3}$

Paso 5.2.3.3

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{3 (\frac{9 x^{3}}{64})}}{3}$

Paso 5.2.3.4

Combina $3$ y $\frac{9 x^{3}}{64}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3})}{64}}}{3}$

Paso 5.2.3.5

Multiplica $3$ por $9$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{\frac{27 x^{3}}{64}}}{3}$

Paso 5.2.3.6

Reescribe $27 x^{3}$ como ${(3 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{\frac{{(3 x)}^{3}}{64}}}{3}$

Paso 5.2.3.7

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{\frac{{(3 x)}^{3}}{4^{3}}}}{3}$

Paso 5.2.3.8

Reescribe $\frac{{(3 x)}^{3}}{4^{3}}$ como ${(\frac{3 x}{4})}^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 \sqrt[3]{{(\frac{3 x}{4})}^{3}}}{3}$

Paso 5.2.3.9

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{4 (\frac{3 x}{4})}{3}$

Paso 5.2.4

Combina $4$ y $\frac{3 x}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{4 (3 x)}{4}}{3}$

Paso 5.2.5

Multiplica $4$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{12 x}{4}}{3}$

Paso 5.2.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.6.1

Reduce la expresión $\frac{12 x}{4}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.6.1.1

Factoriza $4$ de $12 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{4 (3 x)}{4}}{3}$

Paso 5.2.6.1.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{4 (3 x)}{4 (1)}}{3}$

Paso 5.2.6.1.3

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{4 (3 x)}{4 \cdot 1}}{3}$

Paso 5.2.6.1.4

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{\frac{3 x}{1}}{3}$

Paso 5.2.6.2

Divide $3 x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{3 x}{3}$

Paso 5.2.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.7.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = \frac{3 x}{3}$

Paso 5.2.7.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x \sqrt{x}}{8}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{3 (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) \sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}}{8}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Combina $3$ y $\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3} \cdot \sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}}{8}$

Paso 5.3.3.2

Combina $\frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3}$ y $\sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{3 (4 \sqrt[3]{3 x^{2}}) \sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.4.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[3]{3 x^{2}} \sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe la expresión con el índice menos común de $6$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}}$ como ${(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 ({(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.2.2

Reescribe ${(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{1}{2}}$ como ${(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{3}{6}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 ({(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.2.3

Reescribe ${(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{\frac{3}{6}}$ como $\sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 (\sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3}} \sqrt[3]{3 x^{2}})}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.2.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{3 x^{2}}$ como ${(3 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 (\sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3}} {(3 x^{2})}^{\frac{1}{3}})}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.2.5

Reescribe ${(3 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ como ${(3 x^{2})}^{\frac{2}{6}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 (\sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3}} {(3 x^{2})}^{\frac{2}{6}})}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.2.6

Reescribe ${(3 x^{2})}^{\frac{2}{6}}$ como $\sqrt[6]{{(3 x^{2})}^{2}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 (\sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3}} \sqrt[6]{{(3 x^{2})}^{2}})}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{{(\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3})}^{3} {(3 x^{2})}^{2}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.4

Aplica la regla del producto a $\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3}}{3^{3}} \cdot {(3 x^{2})}^{2}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.5

Aplica la regla del producto a $3 x^{2}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3}}{3^{3}} \cdot (3^{2} {(x^{2})}^{2})}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.6

Combina exponentes.

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Paso 5.3.4.6.1

Combina $\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3}}{3^{3}}$ y $3^{2}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} \cdot 3^{2}}{3^{3}} \cdot {(x^{2})}^{2}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.6.2

Combina $\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} \cdot 3^{2}}{3^{3}}$ y ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} \cdot (3^{2} {(x^{2})}^{2})}{3^{3}}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.7

Cancela el factor común de $3^{2}$ y $3^{3}$ .

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Paso 5.3.4.7.1

Factoriza $3^{2}$ de ${(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} \cdot 3^{2} {(x^{2})}^{2}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3^{2} ({(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} {(x^{2})}^{2})}{3^{3}}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.4.7.2.1

Factoriza $3^{2}$ de $3^{3}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3^{2} ({(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} {(x^{2})}^{2})}{3^{2} \cdot 3}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.7.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3^{2} ({(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} {(x^{2})}^{2})}{3^{2} \cdot 3}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.7.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{{(4 \sqrt[3]{3 x^{2}})}^{3} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.8

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.4.8.1

Aplica la regla del producto a $4 \sqrt[3]{3 x^{2}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{4^{3} {\sqrt[3]{3 x^{2}}}^{3} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.8.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 {\sqrt[3]{3 x^{2}}}^{3} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.8.3

Reescribe ${\sqrt[3]{3 x^{2}}}^{3}$ como $3 x^{2}$ .

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Paso 5.3.4.8.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{3 x^{2}}$ como ${(3 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 {({(3 x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.8.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 {(3 x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.8.3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 {(3 x^{2})}^{\frac{3}{3}} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.8.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.4.8.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 {(3 x^{2})}^{\frac{3}{3}} {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.8.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 (3 x^{2}) {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.8.3.5

Simplifica.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 (3 x^{2}) {(x^{2})}^{2}}{3}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.8.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.3.4.8.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 (3 x^{2}) x^{2 \cdot 2}}{3}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.8.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 (3 x^{2}) x^{4}}{3}}}{3}}{8}$

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 \cdot (3 x^{2} x^{4})}{3}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.8.5

Combina exponentes.

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Paso 5.3.4.8.5.1

Multiplica $64$ por $3$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{192 x^{2} x^{4}}{3}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.8.5.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.4.8.5.2.1

Mueve $x^{4}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{192 (x^{4} x^{2})}{3}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.8.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{192 x^{4 + 2}}{3}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.8.5.2.3

Suma $4$ y $2$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{192 x^{6}}{3}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.9

Cancela el factor común de $192$ y $3$ .

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Paso 5.3.4.9.1

Factoriza $3$ de $192 x^{6}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3 (64 x^{6})}{3}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.4.9.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3 (64 x^{6})}{3 (1)}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.9.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{3 (64 x^{6})}{3 \cdot 1}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.9.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{\frac{64 x^{6}}{1}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.4.9.2.4

Divide $64 x^{6}$ por $1$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{64 x^{6}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.5.1

Reescribe $64 x^{6}$ como ${(2 x)}^{6}$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \sqrt[6]{{(2 x)}^{6}}}{3}}{8}$

Paso 5.3.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{12 \cdot (2 x)}{3}}{8}$

Paso 5.3.5.3

Multiplica $12$ por $2$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{24 x}{3}}{8}$

Paso 5.3.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.6.1

Reduce la expresión $\frac{24 x}{3}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.6.1.1

Factoriza $3$ de $24 x$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3}}{8}$

Paso 5.3.6.1.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 (1)}}{8}$

Paso 5.3.6.1.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 \cdot 1}}{8}$

Paso 5.3.6.1.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{\frac{8 x}{1}}{8}$

Paso 5.3.6.2

Divide $8 x$ por $1$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{8 x}{8}$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.3.7.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = \frac{8 x}{8}$

Paso 5.3.7.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$ es la inversa de $f (x) = \frac{3 x \sqrt{x}}{8}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{4 \sqrt[3]{3 x^{2}}}{3}$