Precálculo Ejemplos

$f (x) = 3^{x - 1} - 2$

Paso 1

Escribe $f (x) = 3^{x - 1} - 2$ como una ecuación.

$y = 3^{x - 1} - 2$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 3^{y - 1} - 2$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $3^{y - 1} - 2 = x$ .

$3^{y - 1} - 2 = x$

Paso 3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3^{y - 1} = x + 2$

Paso 3.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{y - 1}) = \ln (x + 2)$

Paso 3.4

Expande $\ln (3^{y - 1})$ ; para ello, mueve $y - 1$ fuera del logaritmo.

$(y - 1) \ln (3) = \ln (x + 2)$

Paso 3.5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1

Simplifica $(y - 1) \ln (3)$ .

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Paso 3.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y \ln (3) - 1 \ln (3) = \ln (x + 2)$

Paso 3.5.1.2

Reescribe $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$y \ln (3) - \ln (3) = \ln (x + 2)$

Paso 3.6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$y \ln (3) - \ln (3) - \ln (x + 2) = 0$

Paso 3.7

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.7.1

Suma $\ln (3)$ a ambos lados de la ecuación.

$y \ln (3) - \ln (x + 2) = \ln (3)$

Paso 3.7.2

Suma $\ln (x + 2)$ a ambos lados de la ecuación.

$y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x + 2)$

Paso 3.8

Divide cada término en $y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x + 2)$ por $\ln (3)$ y simplifica.

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Paso 3.8.1

Divide cada término en $y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x + 2)$ por $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$

Paso 3.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.8.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 3.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$

Paso 3.8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$

Paso 3.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.8.3.1

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 3.8.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$

Paso 3.8.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$ es la inversa de $f (x) = 3^{x - 1} - 2$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (3^{x - 1} - 2)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = 1 + \frac{\ln ((3^{x - 1} - 2) + 2)}{\ln (3)}$

Paso 5.2.3

Combina los términos opuestos en $1 + \frac{\ln ((3^{x - 1} - 2) + 2)}{\ln (3)}$ .

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Paso 5.2.3.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = 1 + \frac{\ln (3^{x - 1} + 0)}{\ln (3)}$

Paso 5.2.3.2

Suma $3^{x - 1}$ y $0$ .

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = 1 + \frac{\ln (3^{x - 1})}{\ln (3)}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Expande $\ln (3^{x - 1})$ ; para ello, mueve $x - 1$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (3)}{\ln (3)}$

Paso 5.2.4.2

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (3)}{\ln (3)}$

Paso 5.2.4.2.2

Divide $x - 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = 1 + x - 1$

Paso 5.2.5

Combina los términos opuestos en $1 + x - 1$ .

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Paso 5.2.5.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = x + 0$

Paso 5.2.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (3^{x - 1} - 2) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = 3^{(1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) - 1} - 2$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $3^{(1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) - 1} - 2$ .

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Paso 5.3.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = 3^{0 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}} - 2$

Paso 5.3.3.2

Suma $0$ y $\frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}} - 2$

Paso 5.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.4.1

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x + 2)} - 2$

Paso 5.3.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = x + 2 - 2$

Paso 5.3.5

Combina los términos opuestos en $x + 2 - 2$ .

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Paso 5.3.5.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = x + 0$

Paso 5.3.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$ es la inversa de $f (x) = 3^{x - 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x + 2)}{\ln (3)}$