Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 1}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 1}$ como una ecuación.

$y = \frac{x + 1}{2 x + 1}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y + 1}{2 y + 1}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y + 1}{2 y + 1} = x$ .

$\frac{y + 1}{2 y + 1} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 y + 1, 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$2 y + 1, 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$2 y + 1$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{y + 1}{2 y + 1} = x$ por $2 y + 1$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{y + 1}{2 y + 1} = x$ por $2 y + 1$ .

$\frac{y + 1}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2 y + 1$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y + 1}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y + 1 = x (2 y + 1)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 1 = x (2 y) + x \cdot 1$

Paso 3.3.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y + 1 = 2 x y + x \cdot 1$

Paso 3.3.3.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$y + 1 = 2 x y + x$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$y + 1 - 2 x y = x$

Paso 3.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y - 2 x y = x - 1$

Paso 3.4.3

Factoriza $y$ de $y - 2 x y$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - 2 x y = x - 1$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $y$ de $- 2 x y$ .

$y \cdot 1 + y (- 2 x) = x - 1$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ .

$y (1 - 2 x) = x - 1$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $y (1 - 2 x) = x - 1$ por $1 - 2 x$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $y (1 - 2 x) = x - 1$ por $1 - 2 x$ .

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x} + \frac{- 1}{1 - 2 x}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $1 - 2 x$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x} + \frac{- 1}{1 - 2 x}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{1 - 2 x} + \frac{- 1}{1 - 2 x}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x - 1}{1 - 2 x}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{1 - 2 x}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{1 - 2 x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 1}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{(\frac{x + 1}{2 x + 1}) - 1}{1 - 2 \frac{x + 1}{2 x + 1}}$

Paso 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2 x + 1$ .

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $\frac{\frac{x + 1}{2 x + 1} - 1}{1 - 2 \frac{x + 1}{2 x + 1}}$ por $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{\frac{x + 1}{2 x + 1} - 1}{1 - 2 \frac{x + 1}{2 x + 1}}$

Paso 5.2.3.2

Combinar.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{(2 x + 1) (\frac{x + 1}{2 x + 1} - 1)}{(2 x + 1) (1 - 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{(2 x + 1) (\frac{x + 1}{2 x + 1}) + (2 x + 1) \cdot - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

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Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{(2 x + 1) (\frac{x + 1}{2 x + 1}) + (2 x + 1) \cdot - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{x + 1 + (2 x + 1) \cdot - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{x + 1 + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{x + 1 - 2 x + 1 \cdot - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.6.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{x + 1 - 2 x - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.6.4

Resta $2 x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x + 1 - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.6.5

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x + 0}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.6.6

Suma $- x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.7

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.7.1

Factoriza $2 x + 1$ de $(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})$ .

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Paso 5.2.7.1.1

Factoriza $2 x + 1$ de $(2 x + 1) \cdot 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (1) + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.7.1.2

Factoriza $2 x + 1$ de $(2 x + 1) (1) + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (1 - 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.7.2

Combina $- 2$ y $\frac{x + 1}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (1 + \frac{- 2 (x + 1)}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (1 - \frac{(2) (x + 1)}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.7.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.7.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{2 x + 1 - 2 (x + 1)}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.7.6

Reescribe $\frac{2 x + 1 - 2 (x + 1)}{2 x + 1}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.7.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{2 x + 1 - 2 x - 2 \cdot 1}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.7.6.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{2 x + 1 - 2 x - 2}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.7.6.3

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{0 + 1 - 2}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.7.6.4

Suma $0$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{1 - 2}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.7.6.5

Resta $2$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{- 1}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.7.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) \cdot (- 1 \frac{1}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.7.8

Factoriza el negativo.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{- (2 x + 1) \frac{1}{2 x + 1}}$

Paso 5.2.8

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{x}{(2 x + 1) (\frac{1}{2 x + 1})}$

Paso 5.2.9

Factoriza $\frac{1}{2 x + 1}$ de $\frac{x}{(2 x + 1) \frac{1}{2 x + 1}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = (2 x + 1) (\frac{x}{2 x + 1})$

Paso 5.2.10

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

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Paso 5.2.10.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = (2 x + 1) (\frac{x}{2 x + 1})$

Paso 5.2.10.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x - 1}{1 - 2 x})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + 1}{2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + 1}$

Paso 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - 2 x$ .

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $\frac{\frac{x - 1}{1 - 2 x} + 1}{2 \frac{x - 1}{1 - 2 x} + 1}$ por $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} \cdot \frac{\frac{x - 1}{1 - 2 x} + 1}{2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + 1}$

Paso 5.3.3.2

Combinar.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(1 - 2 x) (\frac{x - 1}{1 - 2 x} + 1)}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + 1)}$

Paso 5.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(1 - 2 x) (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + (1 - 2 x) \cdot 1}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $1 - 2 x$ .

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(1 - 2 x) (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + (1 - 2 x) \cdot 1}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Paso 5.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{x - 1 + (1 - 2 x) \cdot 1}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Paso 5.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.6.1

Multiplica $1 - 2 x$ por $1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{x - 1 + 1 - 2 x}{(1 - 2 x) \cdot (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Paso 5.3.6.2

Resta $2 x$ de $x$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x - 1 + 1}{(1 - 2 x) \cdot (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Paso 5.3.6.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x + 0}{(1 - 2 x) \cdot (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Paso 5.3.6.4

Suma $- x$ y $0$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) \cdot (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Paso 5.3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.7.1

Factoriza $1 - 2 x$ de $(1 - 2 x) \cdot 2 \frac{x - 1}{1 - 2 x} + (1 - 2 x) \cdot 1$ .

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Paso 5.3.7.1.1

Factoriza $1 - 2 x$ de $(1 - 2 x) \cdot 1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) (1)}$

Paso 5.3.7.1.2

Factoriza $1 - 2 x$ de $(1 - 2 x) (2 \frac{x - 1}{1 - 2 x}) + (1 - 2 x) (1)$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + 1)}$

Paso 5.3.7.2

Combina $2$ y $\frac{x - 1}{1 - 2 x}$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{2 (x - 1)}{1 - 2 x} + 1)}$

Paso 5.3.7.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{2 (x - 1)}{1 - 2 x} + \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x})}$

Paso 5.3.7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{2 (x - 1) + 1 - 2 x}{1 - 2 x})}$

Paso 5.3.7.5

Reordena los términos.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{- 2 x + 2 (x - 1) + 1}{- 2 x + 1})}$

Paso 5.3.7.6

Reescribe $\frac{- 2 x + 2 (x - 1) + 1}{- 2 x + 1}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.7.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{- 2 x + 2 x + 2 \cdot - 1 + 1}{- 2 x + 1})}$

Paso 5.3.7.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{- 2 x + 2 x - 2 + 1}{- 2 x + 1})}$

Paso 5.3.7.6.3

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{0 - 2 + 1}{- 2 x + 1})}$

Paso 5.3.7.6.4

Resta $2$ de $0$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{- 2 + 1}{- 2 x + 1})}$

Paso 5.3.7.6.5

Suma $- 2$ y $1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{- 1}{- 2 x + 1})}$

Paso 5.3.7.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) \cdot (- 1 \frac{1}{- 2 x + 1})}$

Paso 5.3.7.8

Factoriza el negativo.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{- (1 - 2 x) \frac{1}{- 2 x + 1}}$

Paso 5.3.8

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{x}{(1 - 2 x) (\frac{1}{- 2 x + 1})}$

Paso 5.3.9

Factoriza $\frac{1}{- 2 x + 1}$ de $\frac{x}{(1 - 2 x) \frac{1}{- 2 x + 1}}$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = (- 2 x + 1) (\frac{x}{1 - 2 x})$

Paso 5.3.10

Multiplica $- 2 x + 1$ por $\frac{x}{1 - 2 x}$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(- 2 x + 1) x}{1 - 2 x}$

Paso 5.3.11

Cancela el factor común de $- 2 x + 1$ y $1 - 2 x$ .

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Paso 5.3.11.1

Reordena los términos.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(- 2 x + 1) x}{- 2 x + 1}$

Paso 5.3.11.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(- 2 x + 1) x}{- 2 x + 1}$

Paso 5.3.11.3

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{1 - 2 x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{1 - 2 x}$