Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ como una ecuación.

$y = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{6}{\sqrt{8 - y}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{6}{\sqrt{8 - y}} = x$ .

$\frac{6}{\sqrt{8 - y}} = x$

Paso 3.2

Multiplicación cruzada.

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Paso 3.2.1

Aplica la multiplicación cruzada; para ello, haz que el producto del numerador del lado derecho y el denominador del lado izquierdo sean iguales al producto del numerador del lado izquierdo y el denominador del lado derecho.

$x \cdot (\sqrt{8 - y}) = 6$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $x$ por $\sqrt{8 - y}$ .

$x \sqrt{8 - y} = 6$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(x \sqrt{8 - y})}^{2} = 6^{2}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{8 - y}$ como ${(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} {({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Paso 3.4.2.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$x^{2} {(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Paso 3.4.2.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} {(8 - y)}^{1} = 6^{2}$

Paso 3.4.2.1.3

Simplifica.

$x^{2} (8 - y) = 6^{2}$

Paso 3.4.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} \cdot 8 + x^{2} (- y) = 6^{2}$

Paso 3.4.2.1.5

Reordena.

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Paso 3.4.2.1.5.1

Mueve $8$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$8 \cdot x^{2} + x^{2} (- y) = 6^{2}$

Paso 3.4.2.1.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 x^{2} - x^{2} y = 6^{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$8 x^{2} - x^{2} y = 36$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Resta $8 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$ por $- x^{2}$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$ por $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} y}{- x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Paso 3.5.2.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Paso 3.5.2.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Paso 3.5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.5.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Paso 3.5.2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 3.5.2.3.1.2.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 8}{- 1}$ .

$y = - \frac{36}{x^{2}} - 1 \cdot - 8$

Paso 3.5.2.3.1.3

Reescribe $- 1 \cdot - 8$ como $- - 8$ .

$y = - \frac{36}{x^{2}} - - 8$

Paso 3.5.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$y = - \frac{36}{x^{2}} + 8$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$ es la inversa de $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{{(\frac{6}{\sqrt{8 - x}})}^{2}} + 8$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{6^{2}}{{\sqrt{8 - x}}^{2}}} + 8$

Paso 5.2.3.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{\sqrt{8 - x}}^{2}}} + 8$

Paso 5.2.3.1.3

Reescribe ${\sqrt{8 - x}}^{2}$ como $8 - x$ .

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Paso 5.2.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{8 - x}$ como ${(8 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{({(8 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} + 8$

Paso 5.2.3.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} + 8$

Paso 5.2.3.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{2}{2}}}} + 8$

Paso 5.2.3.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{2}{2}}}} + 8$

Paso 5.2.3.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{8 - x}} + 8$

Paso 5.2.3.1.3.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{8 - x}} + 8$

Paso 5.2.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (36 (\frac{8 - x}{36})) + 8$

Paso 5.2.3.3

Cancela el factor común de $36$ .

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Paso 5.2.3.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (36 (\frac{8 - x}{36})) + 8$

Paso 5.2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (8 - x) + 8$

Paso 5.2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 1 \cdot 8 + x + 8$

Paso 5.2.3.5

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + x + 8$

Paso 5.2.3.6

Multiplica $- - x$ .

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Paso 5.2.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + 1 x + 8$

Paso 5.2.3.6.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + x + 8$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $- 8 + x + 8$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 8$ y $8$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- \frac{36}{x^{2}} + 8)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - (- \frac{36}{x^{2}} + 8)}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.3.1

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - (- \frac{36}{x^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2}})}}$

Paso 5.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{- 36 + 8 x^{2}}{x^{2}}}}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $4$ de $- 36 + 8 x^{2}$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Factoriza $4$ de $- 36$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9) + 8 x^{2}}{x^{2}}}}$

Paso 5.3.3.3.2

Factoriza $4$ de $8 x^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9) + 4 (2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Paso 5.3.3.3.3

Factoriza $4$ de $4 (- 9) + 4 (2 x^{2})$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Paso 5.3.3.4

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} - \frac{4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Paso 5.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Paso 5.3.3.6

Reescribe $\frac{8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.3.6.1

Factoriza $4$ de $8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})$ .

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Paso 5.3.3.6.1.1

Factoriza $4$ de $8 x^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2}) - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Paso 5.3.3.6.1.2

Factoriza $4$ de $- 4 (- 9 + 2 x^{2})$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (- (- 9 + 2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Paso 5.3.3.6.1.3

Factoriza $4$ de $4 (2 x^{2}) + 4 (- (- 9 + 2 x^{2}))$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} - (- 9 + 2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Paso 5.3.3.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - (2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Paso 5.3.3.6.3

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - (2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Paso 5.3.3.6.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Paso 5.3.3.6.5

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (0 + 9)}{x^{2}}}}$

Paso 5.3.3.6.6

Suma $0$ y $9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 \cdot 9}{x^{2}}}}$

Paso 5.3.3.7

Multiplica $4$ por $9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{36}{x^{2}}}}$

Paso 5.3.3.8

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{6^{2}}{x^{2}}}}$

Paso 5.3.3.9

Reescribe $\frac{6^{2}}{x^{2}}$ como ${(\frac{6}{x})}^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{{(\frac{6}{x})}^{2}}}$

Paso 5.3.3.10

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\frac{6}{x}}$

Paso 5.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = 6 (\frac{x}{6})$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = 6 (\frac{x}{6})$

Paso 5.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$ es la inversa de $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$