Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$

Paso 1

Escribe $f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$ como una ecuación.

$y = x^{\frac{1}{3}} + 1$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = y^{\frac{1}{3}} + 1$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $y^{\frac{1}{3}} + 1 = x$ .

$y^{\frac{1}{3}} + 1 = x$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{\frac{1}{3}} - x = - 1$

Paso 3.2.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{\frac{1}{3}} = - 1 + x$

Paso 3.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1 + x)}^{3}$

Paso 3.4

Simplifica el exponente.

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Paso 3.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1 + x)}^{3}$

Paso 3.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1 + x)}^{3}$

Paso 3.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(- 1 + x)}^{3}$

Paso 3.4.1.1.2

Simplifica.

$y = {(- 1 + x)}^{3}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(- 1 + x)}^{3}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Usa el teorema del binomio.

$y = {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} x + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$y = - 1 + 3 {(- 1)}^{2} x + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3}$

Paso 3.4.2.1.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = - 1 + 3 \cdot 1 x + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3}$

Paso 3.4.2.1.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$y = - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3}$

Paso 3.4.2.1.2.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y = - 1 + 3 x - 3 x^{2} + x^{3}$

Paso 3.5

Simplifica $- 1 + 3 x - 3 x^{2} + x^{3}$ .

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Paso 3.5.1

Mueve $- 1$ .

$y = 3 x - 3 x^{2} + x^{3} - 1$

Paso 3.5.2

Mueve $3 x$ .

$y = - 3 x^{2} + x^{3} + 3 x - 1$

Paso 3.5.3

Reordena $- 3 x^{2}$ y $x^{3}$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ es la inversa de $f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Usa el teorema del binomio.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.2.3.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.2.2

Simplifica.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.3.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.2.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.2.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.2.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.2.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.3

Reescribe ${(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2}$ como $(x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} + 1)$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 ((x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} + 1)) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.4

Expande $(x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} + 1) + 1 (x^{\frac{1}{3}} + 1)) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 (x^{\frac{1}{3}} + 1)) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.5.1.1

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.3.5.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.5.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.5.1.1.3

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.5.1.2

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.5.1.3

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.5.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.5.2

Suma $x^{\frac{1}{3}}$ y $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} + 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot 1 + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.7

Simplifica.

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Paso 5.2.3.7.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot 1 + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.7.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Paso 5.2.3.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 - 1$

Paso 5.2.3.9

Multiplica $3$ por $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 - 1$

Paso 5.2.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los términos opuestos en $x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 - 1$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Resta $3 x^{\frac{2}{3}}$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 0 - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 - 1$

Paso 5.2.4.1.2

Suma $x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1$ y $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 - 1$

Paso 5.2.4.1.3

Suma $- 3$ y $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 0 - 1$

Paso 5.2.4.1.4

Suma $x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ y $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1$

Paso 5.2.4.1.5

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 0$

Paso 5.2.4.1.6

Suma $x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ y $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.2.4.2

Resta $6 x^{\frac{1}{3}}$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x - 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.2.4.3

Combina los términos opuestos en $x - 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Suma $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ y $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 0$

Paso 5.2.4.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) = {(x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 1$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ es la inversa de $f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$