Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ como una ecuación.

$y = \frac{x}{2 x + 1}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y}{2 y + 1}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y}{2 y + 1} = x$ .

$\frac{y}{2 y + 1} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 y + 1, 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$2 y + 1, 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$2 y + 1$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{y}{2 y + 1} = x$ por $2 y + 1$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{y}{2 y + 1} = x$ por $2 y + 1$ .

$\frac{y}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2 y + 1$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y = x (2 y + 1)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x (2 y) + x \cdot 1$

Paso 3.3.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = 2 x y + x \cdot 1$

Paso 3.3.3.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = 2 x y + x$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$y - 2 x y = x$

Paso 3.4.2

Factoriza $y$ de $y - 2 x y$ .

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - 2 x y = x$

Paso 3.4.2.2

Factoriza $y$ de $- 2 x y$ .

$y \cdot 1 + y (- 2 x) = x$

Paso 3.4.2.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ .

$y (1 - 2 x) = x$

Paso 3.4.3

Divide cada término en $y (1 - 2 x) = x$ por $1 - 2 x$ y simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Divide cada término en $y (1 - 2 x) = x$ por $1 - 2 x$ .

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Paso 3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.2.1

Cancela el factor común de $1 - 2 x$ .

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Paso 3.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Paso 3.4.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{1 - 2 x}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{\frac{x}{2 x + 1}}{1 - 2 \frac{x}{2 x + 1}}$

Paso 5.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{x}{2 x + 1}}$

Paso 5.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.1

Combina $- 2$ y $\frac{x}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 x}{2 x + 1}}$

Paso 5.2.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2 x}{2 x + 1}}$

Paso 5.2.4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{2 x}{2 x + 1}}$

Paso 5.2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1 - 2 x}{2 x + 1}}$

Paso 5.2.4.5

Reordena los términos.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x - 2 x + 1}{2 x + 1}}$

Paso 5.2.4.6

Reescribe $\frac{2 x - 2 x + 1}{2 x + 1}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.4.6.1

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 x + 1}}$

Paso 5.2.4.6.2

Suma $0$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 x + 1}}$

Paso 5.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot (1 (2 x + 1))$

Paso 5.2.6

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

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Paso 5.2.6.1

Factoriza $2 x + 1$ de $1 (2 x + 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot ((2 x + 1) \cdot 1)$

Paso 5.2.6.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot ((2 x + 1) \cdot 1)$

Paso 5.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x}{1 - 2 x})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{2 (\frac{x}{1 - 2 x}) + 1}$

Paso 5.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{2 (\frac{x}{1 - 2 x}) + 1}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Combina $2$ y $\frac{x}{1 - 2 x}$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - 2 x} + 1}$

Paso 5.3.4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - 2 x} + \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}}$

Paso 5.3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1 - 2 x}{1 - 2 x}}$

Paso 5.3.4.4

Reordena los términos.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x - 2 x + 1}{- 2 x + 1}}$

Paso 5.3.4.5

Reescribe $\frac{2 x - 2 x + 1}{- 2 x + 1}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.4.5.1

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{- 2 x + 1}}$

Paso 5.3.4.5.2

Suma $0$ y $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{- 2 x + 1}}$

Paso 5.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 (- 2 x + 1))$

Paso 5.3.6

Multiplica $- 2 x + 1$ por $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (- 2 x + 1)$

Paso 5.3.7

Multiplica $\frac{x}{1 - 2 x}$ por $- 2 x + 1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{1 - 2 x}$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $- 2 x + 1$ y $1 - 2 x$ .

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Paso 5.3.8.1

Reordena los términos.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{- 2 x + 1}$

Paso 5.3.8.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{- 2 x + 1}$

Paso 5.3.8.3

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$