Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{3 x - 1} + 5$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt{3 x - 1} + 5$ como una ecuación.

$y = \sqrt{3 x - 1} + 5$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{3 y - 1} + 5$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{3 y - 1} + 5 = x$ .

$\sqrt{3 y - 1} + 5 = x$

Paso 3.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{3 y - 1} = x - 5$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{3 y - 1}}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 y - 1}$ como ${(3 y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${({(3 y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 y - 1)}^{1} = {(x - 5)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica.

$3 y - 1 = {(x - 5)}^{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(x - 5)}^{2}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Reescribe ${(x - 5)}^{2}$ como $(x - 5) (x - 5)$ .

$3 y - 1 = (x - 5) (x - 5)$

Paso 3.4.3.1.2

Expande $(x - 5) (x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y - 1 = x (x - 5) - 5 (x - 5)$

Paso 3.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y - 1 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)$

Paso 3.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y - 1 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

Paso 3.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 y - 1 = x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

Paso 3.4.3.1.3.1.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$3 y - 1 = x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5$

Paso 3.4.3.1.3.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$3 y - 1 = x^{2} - 5 x - 5 x + 25$

Paso 3.4.3.1.3.2

Resta $5 x$ de $- 5 x$ .

$3 y - 1 = x^{2} - 10 x + 25$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.1.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = x^{2} - 10 x + 25 + 1$

Paso 3.5.1.2

Suma $25$ y $1$ .

$3 y = x^{2} - 10 x + 26$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $3 y = x^{2} - 10 x + 26$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $3 y = x^{2} - 10 x + 26$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 10 x}{3} + \frac{26}{3}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 10 x}{3} + \frac{26}{3}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 10 x}{3} + \frac{26}{3}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{3 x - 1} + 5$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{(\sqrt{3 x - 1} + 5)}^{2}}{3} - \frac{10 (\sqrt{3 x - 1} + 5)}{3} + \frac{26}{3}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{(\sqrt{3 x - 1} + 5)}^{2} - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Reescribe ${(\sqrt{3 x - 1} + 5)}^{2}$ como $(\sqrt{3 x - 1} + 5) (\sqrt{3 x - 1} + 5)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{(\sqrt{3 x - 1} + 5) (\sqrt{3 x - 1} + 5) - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Paso 5.2.4.2

Expande $(\sqrt{3 x - 1} + 5) (\sqrt{3 x - 1} + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{\sqrt{3 x - 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 5 (\sqrt{3 x - 1} + 5) - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Paso 5.2.4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{\sqrt{3 x - 1} \sqrt{3 x - 1} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 (\sqrt{3 x - 1} + 5) - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Paso 5.2.4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{\sqrt{3 x - 1} \sqrt{3 x - 1} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Paso 5.2.4.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.3.1.1

Multiplica $\sqrt{3 x - 1} \sqrt{3 x - 1}$ .

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Paso 5.2.4.3.1.1.1

Eleva $\sqrt{3 x - 1}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{\sqrt{3 x - 1} \sqrt{3 x - 1} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Paso 5.2.4.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{3 x - 1}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{\sqrt{3 x - 1} \sqrt{3 x - 1} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Paso 5.2.4.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{\sqrt{3 x - 1}}^{1 + 1} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Paso 5.2.4.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{\sqrt{3 x - 1}}^{2} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Paso 5.2.4.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{3 x - 1}}^{2}$ como $3 x - 1$ .

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Paso 5.2.4.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x - 1}$ como ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{({(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Paso 5.2.4.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Paso 5.2.4.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Paso 5.2.4.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Paso 5.2.4.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{(3 x - 1) + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Paso 5.2.4.3.1.2.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x - 1 + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Paso 5.2.4.3.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $\sqrt{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x - 1 + 5 \cdot \sqrt{3 x - 1} + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Paso 5.2.4.3.1.4

Multiplica $5$ por $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x - 1 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \sqrt{3 x - 1} + 25 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Paso 5.2.4.3.2

Suma $- 1$ y $25$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \sqrt{3 x - 1} - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Paso 5.2.4.3.3

Suma $5 \sqrt{3 x - 1}$ y $5 \sqrt{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 + 10 \sqrt{3 x - 1} - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Paso 5.2.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 + 10 \sqrt{3 x - 1} - 10 \sqrt{3 x - 1} - 10 \cdot 5 + 26}{3}$

Paso 5.2.4.5

Multiplica $- 10$ por $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 + 10 \sqrt{3 x - 1} - 10 \sqrt{3 x - 1} - 50 + 26}{3}$

Paso 5.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.5.1

Combina los términos opuestos en $3 x + 24 + 10 \sqrt{3 x - 1} - 10 \sqrt{3 x - 1} - 50 + 26$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Resta $10 \sqrt{3 x - 1}$ de $10 \sqrt{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 + 0 - 50 + 26}{3}$

Paso 5.2.5.1.2

Suma $3 x + 24$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 - 50 + 26}{3}$

Paso 5.2.5.2

Resta $50$ de $24$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x - 26 + 26}{3}$

Paso 5.2.5.3

Combina los términos opuestos en $3 x - 26 + 26$ .

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Paso 5.2.5.3.1

Suma $- 26$ y $26$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 0}{3}$

Paso 5.2.5.3.2

Suma $3 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x}{3}$

Paso 5.2.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.5.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x}{3}$

Paso 5.2.5.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) - 1} + 5$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3}) + 3 (- \frac{10 x}{3}) + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Paso 5.3.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3}) + 3 (- \frac{10 x}{3}) + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Paso 5.3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} + 3 (- \frac{10 x}{3}) + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{10 x}{3}$ al numerador.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} + 3 (\frac{- 10 x}{3}) + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Paso 5.3.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} + 3 (\frac{- 10 x}{3}) + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Paso 5.3.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 10 x + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Paso 5.3.3.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 10 x + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Paso 5.3.3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 10 x + 26 - 1} + 5$

Paso 5.3.3.3

Resta $1$ de $26$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 5$

Paso 5.3.3.4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.3.3.4.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 10 x + 5^{2}} + 5$

Paso 5.3.3.4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 5.3.3.4.3

Reescribe el polinomio.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} + 5$

Paso 5.3.3.4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{{(x - 5)}^{2}} + 5$

Paso 5.3.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = x - 5 + 5$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x - 5 + 5$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{3 x - 1} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}$