Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{6 x - 3}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt{6 x - 3}$ como una ecuación.

$y = \sqrt{6 x - 3}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{6 y - 3}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{6 y - 3} = x$ .

$\sqrt{6 y - 3} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{6 y - 3}}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 y - 3}$ como ${(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(6 y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(6 y - 3)}^{1} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$6 y - 3 = x^{2}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$6 y = x^{2} + 3$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $6 y = x^{2} + 3$ por $6$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $6 y = x^{2} + 3$ por $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{6}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{6}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{6}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 3.4.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

Paso 3.4.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Paso 3.4.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Paso 3.4.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{6 x - 3}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(\sqrt{6 x - 3})}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $6 x - 3$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x) - 3}}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.1.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x) + 3 (- 1)}}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.1.3

Factoriza $3$ de $3 (2 x) + 3 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x - 1)}}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{3 (2 x - 1)}}^{2}$ como $3 (2 x - 1)$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 (2 x - 1)}$ como ${(3 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{({(3 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(3 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(3 (2 x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(3 (2 x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.2.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot - 1}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{6 x + 3 \cdot - 1}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{6 x - 3}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.6

Factoriza $3$ de $6 x - 3$ .

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Paso 5.2.3.1.6.1

Factoriza $3$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x) - 3}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.6.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x) + 3 (- 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.1.6.3

Factoriza $3$ de $3 (2 x) + 3 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x - 1}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Paso 5.2.4.2

Combina los términos opuestos en $2 x - 1 + 1$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 5.2.4.2.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.4.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) - 3}$

Paso 5.3.3

Factoriza $3$ de $6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) - 3$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $3$ de $6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})) - 3}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})) + 3 (- 1)}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $3$ de $3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})) + 3 (- 1)$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) - 1)}$

Paso 5.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.5.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{2 (3)}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Paso 5.3.5.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{2 \cdot 3}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Paso 5.3.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.6.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Paso 5.3.6.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 1 - 1)}$

Paso 5.3.7

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.3.7.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 0)}$

Paso 5.3.7.2

Suma $\frac{x^{2}}{3}$ y $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3})}$

Paso 5.3.8

Combina $3$ y $\frac{x^{2}}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Paso 5.3.9

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.9.1

Reduce la expresión $\frac{3 x^{2}}{3}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.9.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Paso 5.3.9.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Paso 5.3.9.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Paso 5.3.10

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{6 x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$