Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ como una ecuación.

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{1 - y^{2}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{1 - y^{2}} = x$ .

$\sqrt{1 - y^{2}} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{1 - y^{2}}}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - y^{2}}$ como ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 - y^{2})}^{1} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$1 - y^{2} = x^{2}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{2} = x^{2} - 1$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $- y^{2} = x^{2} - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $- y^{2} = x^{2} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.2.2.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.2.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$y^{2} = - x^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.4.2.3.1.3

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} = - x^{2} + 1$

Paso 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 1}$

Paso 3.4.4

Simplifica $\pm \sqrt{- x^{2} + 1}$ .

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Paso 3.4.4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.4.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 1^{2}}$

Paso 3.4.4.1.2

Reordena $- x^{2}$ y $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Paso 3.4.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 3.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 3.4.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.