Precálculo Ejemplos

$f (x) = e^{x - 5} - 5$

Paso 1

Escribe $f (x) = e^{x - 5} - 5$ como una ecuación.

$y = e^{x - 5} - 5$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = e^{y - 5} - 5$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $e^{y - 5} - 5 = x$ .

$e^{y - 5} - 5 = x$

Paso 3.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$e^{y - 5} = x + 5$

Paso 3.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y - 5}) = \ln (x + 5)$

Paso 3.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Expande $\ln (e^{y - 5})$ ; para ello, mueve $y - 5$ fuera del logaritmo.

$(y - 5) \ln (e) = \ln (x + 5)$

Paso 3.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(y - 5) \cdot 1 = \ln (x + 5)$

Paso 3.4.3

Multiplica $y - 5$ por $1$ .

$y - 5 = \ln (x + 5)$

Paso 3.5

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \ln (x + 5) + 5$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$ es la inversa de $f (x) = e^{x - 5} - 5$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (e^{x - 5} - 5)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = \ln ((e^{x - 5} - 5) + 5) + 5$

Paso 5.2.3

Combina los términos opuestos en $\ln ((e^{x - 5} - 5) + 5) + 5$ .

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Paso 5.2.3.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = \ln (e^{x - 5} + 0) + 5$

Paso 5.2.3.2

Suma $e^{x - 5}$ y $0$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = \ln (e^{x - 5}) + 5$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $x - 5$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = (x - 5) \ln (e) + 5$

Paso 5.2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = (x - 5) \cdot 1 + 5$

Paso 5.2.4.3

Multiplica $x - 5$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = x - 5 + 5$

Paso 5.2.5

Combina los términos opuestos en $x - 5 + 5$ .

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Paso 5.2.5.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = x + 0$

Paso 5.2.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\ln (x + 5) + 5)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = e^{(\ln (x + 5) + 5) - 5} - 5$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $e^{(\ln (x + 5) + 5) - 5} - 5$ .

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Paso 5.3.3.1

Resta $5$ de $5$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = e^{\ln (x + 5) + 0} - 5$

Paso 5.3.3.2

Suma $\ln (x + 5)$ y $0$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = e^{\ln (x + 5)} - 5$

Paso 5.3.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (x + 5) + 5) = x + 5 - 5$

Paso 5.3.5

Combina los términos opuestos en $x + 5 - 5$ .

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Paso 5.3.5.1

Resta $5$ de $5$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = x + 0$

Paso 5.3.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$ es la inversa de $f (x) = e^{x - 5} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$