Precálculo Ejemplos

$f (x) = 2 \sqrt[3]{x} - 5$

Paso 1

Escribe $f (x) = 2 \sqrt[3]{x} - 5$ como una ecuación.

$y = 2 \sqrt[3]{x} - 5$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 2 \sqrt[3]{y} - 5$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 \sqrt[3]{y} - 5 = x$ .

$2 \sqrt[3]{y} - 5 = x$

Paso 3.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt[3]{y} = x + 5$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt[3]{y})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{y}$ como $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(2 y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(2 y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 y^{\frac{1}{3}}$ .

$2^{3} {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

Paso 3.4.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

Paso 3.4.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.4.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 5)}^{3}$

Paso 3.4.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$8 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 5)}^{3}$

Paso 3.4.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$8 y^{1} = {(x + 5)}^{3}$

Paso 3.4.2.1.4

Simplifica.

$8 y = {(x + 5)}^{3}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(x + 5)}^{3}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Usa el teorema del binomio.

$8 y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}$

Paso 3.4.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.2.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$8 y = x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}$

Paso 3.4.3.1.2.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$8 y = x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + 5^{3}$

Paso 3.4.3.1.2.3

Multiplica $25$ por $3$ .

$8 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 5^{3}$

Paso 3.4.3.1.2.4

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$8 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$

Paso 3.5

Divide cada término en $8 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$ por $8$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $8 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$ por $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}$ es la inversa de $f (x) = 2 \sqrt[3]{x} - 5$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{8} + \frac{15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{8} + \frac{75 (2 \sqrt[3]{x} - 5)}{8} + \frac{125}{8}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Usa el teorema del binomio.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x})}^{3} + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.2.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{2^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.2.3

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Paso 5.2.4.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.2.3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x^{\frac{3}{3}} + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.2.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.4.2.3.4.1

Cancela el factor común.

Paso 5.2.4.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.2.3.5

Simplifica.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.2.4

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 (2^{2} {\sqrt[3]{x}}^{2}) \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.2.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.2.6

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}}) \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.2.7

Multiplica $4$ por $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot - 5 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.2.8

Multiplica $- 5$ por $12$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 (2 \sqrt[3]{x}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.2.9

Multiplica $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 6 \sqrt[3]{x} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.2.10

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 6 \sqrt[3]{x} \cdot 25 + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.2.11

Multiplica $25$ por $6$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} + {(- 5)}^{3} + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.2.12

Eleva $- 5$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 {(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.3

Reescribe ${(2 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}$ como $(2 \sqrt[3]{x} - 5) (2 \sqrt[3]{x} - 5)$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 ((2 \sqrt[3]{x} - 5) (2 \sqrt[3]{x} - 5)) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.4

Expande $(2 \sqrt[3]{x} - 5) (2 \sqrt[3]{x} - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x} - 5) - 5 (2 \sqrt[3]{x} - 5)) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (2 \sqrt[3]{x} - 5)) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (2 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.4.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.5.1.1

Multiplica $2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x})$ .

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Paso 5.2.4.5.1.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (4 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (2 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.5.1.1.2

Eleva $\sqrt[3]{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (4 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (2 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.5.1.1.3

Eleva $\sqrt[3]{x}$ a la potencia de $1$ .

Paso 5.2.4.5.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (4 {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (2 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.5.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (4 {\sqrt[3]{x}}^{2} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (2 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.5.1.2

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (4 \sqrt[3]{x^{2}} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (2 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.5.1.3

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 10 \sqrt[3]{x} - 5 (2 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.5.1.4

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 10 \sqrt[3]{x} - 10 \sqrt[3]{x} - 5 \cdot - 5) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.5.1.5

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 10 \sqrt[3]{x} - 10 \sqrt[3]{x} + 25) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.5.2

Resta $10 \sqrt[3]{x}$ de $- 10 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 20 \sqrt[3]{x} + 25) + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 15 (4 \sqrt[3]{x^{2}}) + 15 (- 20 \sqrt[3]{x}) + 15 \cdot 25 + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.7

Simplifica.

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Paso 5.2.4.7.1

Multiplica $4$ por $15$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 15 (- 20 \sqrt[3]{x}) + 15 \cdot 25 + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.7.2

Multiplica $- 20$ por $15$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 60 \sqrt[3]{x^{2}} - 300 \sqrt[3]{x} + 15 \cdot 25 + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.7.3

Multiplica $15$ por $25$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 60 \sqrt[3]{x^{2}} - 300 \sqrt[3]{x} + 375 + 75 (2 \sqrt[3]{x} - 5) + 125}{8}$

Paso 5.2.4.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 60 \sqrt[3]{x^{2}} - 300 \sqrt[3]{x} + 375 + 75 (2 \sqrt[3]{x}) + 75 \cdot - 5 + 125}{8}$

Paso 5.2.4.9

Multiplica $2$ por $75$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 60 \sqrt[3]{x^{2}} - 300 \sqrt[3]{x} + 375 + 150 \sqrt[3]{x} + 75 \cdot - 5 + 125}{8}$

Paso 5.2.4.10

Multiplica $75$ por $- 5$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 60 \sqrt[3]{x^{2}} - 300 \sqrt[3]{x} + 375 + 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 125}{8}$

Paso 5.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.5.1

Combina los términos opuestos en $8 x - 60 \sqrt[3]{x^{2}} + 150 \sqrt[3]{x} - 125 + 60 \sqrt[3]{x^{2}} - 300 \sqrt[3]{x} + 375 + 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 125$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Suma $- 60 \sqrt[3]{x^{2}}$ y $60 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 0 + 150 \sqrt[3]{x} - 125 - 300 \sqrt[3]{x} + 375 + 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 125}{8}$

Paso 5.2.5.1.2

Suma $8 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 150 \sqrt[3]{x} - 125 - 300 \sqrt[3]{x} + 375 + 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 125}{8}$

Paso 5.2.5.1.3

Resta $375$ de $375$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 150 \sqrt[3]{x} - 125 - 300 \sqrt[3]{x} + 0 + 150 \sqrt[3]{x} + 125}{8}$

Paso 5.2.5.1.4

Suma $8 x + 150 \sqrt[3]{x} - 125 - 300 \sqrt[3]{x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 150 \sqrt[3]{x} - 125 - 300 \sqrt[3]{x} + 150 \sqrt[3]{x} + 125}{8}$

Paso 5.2.5.1.5

Suma $- 125$ y $125$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 150 \sqrt[3]{x} + 0 - 300 \sqrt[3]{x} + 150 \sqrt[3]{x}}{8}$

Paso 5.2.5.1.6

Suma $8 x + 150 \sqrt[3]{x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 150 \sqrt[3]{x} - 300 \sqrt[3]{x} + 150 \sqrt[3]{x}}{8}$

Paso 5.2.5.2

Resta $300 \sqrt[3]{x}$ de $150 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x - 150 \sqrt[3]{x} + 150 \sqrt[3]{x}}{8}$

Paso 5.2.5.3

Combina los términos opuestos en $8 x - 150 \sqrt[3]{x} + 150 \sqrt[3]{x}$ .

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Paso 5.2.5.3.1

Suma $- 150 \sqrt[3]{x}$ y $150 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x + 0}{8}$

Paso 5.2.5.3.2

Suma $8 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x}{8}$

Paso 5.2.5.4

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.2.5.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{8 x}{8}$

Paso 5.2.5.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} - 5) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}} - 5$

Paso 5.3.3

Elimina los paréntesis.

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}} - 5$

Paso 5.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125}{8}} - 5$

Paso 5.3.4.2

Reescribe $\frac{x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125}{8}$ como ${(\frac{1}{2})}^{3} (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125)$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{3}$ de $x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125)}{8}} - 5$

Paso 5.3.4.2.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{3}$ de $8$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125)}{2^{3} \cdot 1}} - 5$

Paso 5.3.4.2.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{3} (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125)}{2^{3} \cdot 1}$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125)} - 5$

Paso 5.3.4.3

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125}) - 5$

Paso 5.3.4.4

Haz que cada término coincida con los términos de la fórmula del teorema del binomio.

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x^{3} + 3 \cdot (5 x^{2}) + 3 \cdot (5^{2} x) + 5^{3}}) - 5$

Paso 5.3.4.5

Factoriza $x^{3} + 3 \cdot 5 x^{2} + 3 \cdot 5^{2} x + 5^{3}$ mediante el teorema del binomio.

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{{(x + 5)}^{3}}) - 5$

Paso 5.3.4.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 (\frac{1}{2} \cdot (x + 5)) - 5$

Paso 5.3.4.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot 5) - 5$

Paso 5.3.4.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 (\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 5) - 5$

Paso 5.3.4.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $5$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 (\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) - 5$

Paso 5.3.4.10

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{5}{2}) - 5$

Paso 5.3.4.11

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.4.11.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{5}{2}) - 5$

Paso 5.3.4.11.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = x + 2 (\frac{5}{2}) - 5$

Paso 5.3.4.12

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.4.12.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = x + 2 (\frac{5}{2}) - 5$

Paso 5.3.4.12.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = x + 5 - 5$

Paso 5.3.5

Combina los términos opuestos en $x + 5 - 5$ .

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Paso 5.3.5.1

Resta $5$ de $5$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = x + 0$

Paso 5.3.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}$ es la inversa de $f (x) = 2 \sqrt[3]{x} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{75 x}{8} + \frac{125}{8}$