Precálculo Ejemplos

$f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$

Paso 1

Escribe $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ como una ecuación.

$y = 2 \sqrt{x} + 3$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 2 \sqrt{y} + 3$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 \sqrt{y} + 3 = x$ .

$2 \sqrt{y} + 3 = x$

Paso 3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{y} = x - 3$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{y})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 y^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.4

Simplifica.

$4 y = {(x - 3)}^{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(x - 3)}^{2}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Reescribe ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$4 y = (x - 3) (x - 3)$

Paso 3.4.3.1.2

Expande $(x - 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Paso 3.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Paso 3.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Paso 3.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 y = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Paso 3.4.3.1.3.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$4 y = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Paso 3.4.3.1.3.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$4 y = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Paso 3.4.3.1.3.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$4 y = x^{2} - 6 x + 9$

Paso 3.5

Divide cada término en $4 y = x^{2} - 6 x + 9$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $4 y = x^{2} - 6 x + 9$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $4$ .

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Paso 3.5.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{4} + \frac{9}{4}$

Paso 3.5.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (2)} + \frac{9}{4}$

Paso 3.5.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

Paso 3.5.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Paso 3.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$ es la inversa de $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2} + \frac{9}{4}$

Paso 5.2.3

Para escribir $- \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{4}$

Paso 5.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.4.1

Multiplica $\frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

Paso 5.2.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

Paso 5.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

Paso 5.2.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Paso 5.2.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 3 (2 \sqrt{x}) - 3 \cdot 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Paso 5.2.5.3.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 6 \sqrt{x} - 3 \cdot 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Paso 5.2.5.3.3

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 6 \sqrt{x} - 9) \cdot 2 + 9}{4}$

Paso 5.2.5.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 6 \sqrt{x} \cdot 2 - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

Paso 5.2.5.3.5

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

Paso 5.2.5.3.6

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 18 + 9}{4}$

Paso 5.2.5.4

Suma $- 18$ y $9$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 9}{4}$

Paso 5.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.6.1

Sea $u = \sqrt{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\sqrt{x}$ .

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Paso 5.2.6.1.1

Resta $12 u$ de $12 u$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 0 + 9 - 9}{4}$

Paso 5.2.6.1.2

Suma $4 u^{2}$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 9 - 9}{4}$

Paso 5.2.6.1.3

Resta $9$ de $9$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 0}{4}$

Paso 5.2.6.1.4

Suma $4 u^{2}$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2}}{4}$

Paso 5.2.6.2

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 {\sqrt{x}}^{2}}{4}$

Paso 5.2.6.3

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 5.2.6.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Paso 5.2.6.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Paso 5.2.6.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 5.2.6.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.6.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 5.2.6.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.2.6.3.5

Simplifica.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.2.7

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.7.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.2.7.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Paso 5.3.3

Elimina los paréntesis.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Paso 5.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.4.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.3.4.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Paso 5.3.4.1.2

Reescribe $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Paso 5.3.4.1.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{4}} + 3$

Paso 5.3.4.1.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{2^{2}}} + 3$

Paso 5.3.4.1.5

Reescribe $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Paso 5.3.4.1.6

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$\frac{3 x}{2} = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Paso 5.3.4.1.7

Reescribe el polinomio.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Paso 5.3.4.1.8

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = \frac{x}{2}$ y $b = \frac{3}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2} - \frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Paso 5.3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x - 3}{2})}^{2}} + 3$

Paso 5.3.4.3

Aplica la regla del producto a $\frac{x - 3}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}} + 3$

Paso 5.3.4.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{4}} + 3$

Paso 5.3.4.5

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}} + 3$

Paso 5.3.4.6

Reescribe $\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{x - 3}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x - 3}{2})}^{2}} + 3$

Paso 5.3.4.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 (\frac{x - 3}{2}) + 3$

Paso 5.3.4.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.4.8.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 (\frac{x - 3}{2}) + 3$

Paso 5.3.4.8.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x - 3 + 3$

Paso 5.3.5

Combina los términos opuestos en $x - 3 + 3$ .

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Paso 5.3.5.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x + 0$

Paso 5.3.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$ es la inversa de $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$