Precálculo Ejemplos

$f (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$

Paso 1

Escribe $f (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$ como una ecuación.

$y = 4 + \sqrt[3]{x}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 4 + \sqrt[3]{y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $4 + \sqrt[3]{y} = x$ .

$4 + \sqrt[3]{y} = x$

Paso 3.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt[3]{y} = x - 4$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{y}$ como $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

Paso 3.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(x - 4)}^{3}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica.

$y = {(x - 4)}^{3}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(x - 4)}^{3}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Usa el teorema del binomio.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

Paso 3.4.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

Paso 3.4.3.1.2.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3}$

Paso 3.4.3.1.2.3

Multiplica $16$ por $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3}$

Paso 3.4.3.1.2.4

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ es la inversa de $f (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = {(4 + \sqrt[3]{x})}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Usa el teorema del binomio.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 4^{3} + 3 \cdot (4^{2} \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 3 \cdot (4^{2} \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 3 \cdot (16 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.2.3

Multiplica $3$ por $16$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.2.4

Multiplica $3$ por $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 {\sqrt[3]{x}}^{2} + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.2.5

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.2.6

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Paso 5.2.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.2.6.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{3}} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.2.6.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{3}} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.2.6.5

Simplifica.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.3

Reescribe ${(4 + \sqrt[3]{x})}^{2}$ como $(4 + \sqrt[3]{x}) (4 + \sqrt[3]{x})$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 ((4 + \sqrt[3]{x}) (4 + \sqrt[3]{x})) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.4

Expande $(4 + \sqrt[3]{x}) (4 + \sqrt[3]{x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (4 (4 + \sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{x} (4 + \sqrt[3]{x})) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (4 \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} (4 + \sqrt[3]{x})) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (4 \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.5.1.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.5.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.5.1.3

Multiplica $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ .

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Paso 5.2.3.5.1.3.1

Eleva $\sqrt[3]{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.5.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.5.1.3.3

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + {\sqrt[3]{x}}^{2}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.5.1.4

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.5.2

Suma $4 \sqrt[3]{x}$ y $4 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 8 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 \cdot 16 - 12 (8 \sqrt[3]{x}) - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.7

Simplifica.

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Paso 5.2.3.7.1

Multiplica $- 12$ por $16$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 12 (8 \sqrt[3]{x}) - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.7.2

Multiplica $8$ por $- 12$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Paso 5.2.3.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \cdot 4 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Paso 5.2.3.9

Multiplica $48$ por $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Paso 5.2.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los términos opuestos en $64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Resta $12 \sqrt[3]{x^{2}}$ de $12 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 0 + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} + 192 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Paso 5.2.4.1.2

Suma $64 + 48 \sqrt[3]{x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} + 192 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Paso 5.2.4.1.3

Suma $- 192$ y $192$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + x + 0 - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Paso 5.2.4.1.4

Suma $64 + 48 \sqrt[3]{x} + x$ y $0$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + x - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Paso 5.2.4.1.5

Resta $64$ de $64$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 0 + 48 \sqrt[3]{x} + x - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Paso 5.2.4.1.6

Suma $0$ y $48 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 48 \sqrt[3]{x} + x - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Paso 5.2.4.2

Resta $96 \sqrt[3]{x}$ de $48 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = x - 48 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Paso 5.2.4.3

Combina los términos opuestos en $x - 48 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Suma $- 48 \sqrt[3]{x}$ y $48 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = x + 0$

Paso 5.2.4.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 4 + \sqrt[3]{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64}$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Haz que cada término coincida con los términos de la fórmula del teorema del binomio.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 4 + \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (4 x^{2}) + 3 \cdot (4^{2} x) - 1 \cdot 4^{3}}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $x^{3} - 3 \cdot 4 x^{2} + 3 \cdot 4^{2} x - 1 \cdot 4^{3}$ mediante el teorema del binomio.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 4 + \sqrt[3]{{(x - 4)}^{3}}$

Paso 5.3.3.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 4 + x - 4$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $4 + x - 4$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $4$ de $4$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ es la inversa de $f (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$