Precálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (3 x) - 2$

Paso 1

Escribe $f (x) = \ln (3 x) - 2$ como una ecuación.

$y = \ln (3 x) - 2$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \ln (3 y) - 2$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\ln (3 y) - 2 = x$ .

$\ln (3 y) - 2 = x$

Paso 3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\ln (3 y) = x + 2$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (3 y)} = e^{x + 2}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (3 y) = x + 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + 2} = 3 y$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $3 y = e^{x + 2}$ .

$3 y = e^{x + 2}$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $3 y = e^{x + 2}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $3 y = e^{x + 2}$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$ es la inversa de $f (x) = \ln (3 x) - 2$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\ln (3 x) - 2)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{(\ln (3 x) - 2) + 2}}{3}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Combina los términos opuestos en $\ln (3 x) - 2 + 2$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{\ln (3 x) + 0}}{3}$

Paso 5.2.3.1.2

Suma $\ln (3 x)$ y $0$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{\ln (3 x)}}{3}$

Paso 5.2.3.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{3 x}{3}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{3 x}{3}$

Paso 5.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{e^{x + 2}}{3})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x + 2}}{3})) - 2$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x + 2}}{3})) - 2$

Paso 5.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (e^{x + 2}) - 2$

Paso 5.3.3.2

Usa las reglas de logaritmos para mover $x + 2$ fuera del exponente.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = (x + 2) \ln (e) - 2$

Paso 5.3.3.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = (x + 2) \cdot 1 - 2$

Paso 5.3.3.4

Multiplica $x + 2$ por $1$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x + 2 - 2$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 2 - 2$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$ es la inversa de $f (x) = \ln (3 x) - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$