Precálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (x - 2) + 1$

Paso 1

Escribe $f (x) = \ln (x - 2) + 1$ como una ecuación.

$y = \ln (x - 2) + 1$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \ln (y - 2) + 1$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\ln (y - 2) + 1 = x$ .

$\ln (y - 2) + 1 = x$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\ln (y - 2) = x - 1$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (y - 2)} = e^{x - 1}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (y - 2) = x - 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x - 1} = y - 2$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $y - 2 = e^{x - 1}$ .

$y - 2 = e^{x - 1}$

Paso 3.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = e^{x - 1} + 2$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = e^{x - 1} + 2$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = e^{x - 1} + 2$ es la inversa de $f (x) = \ln (x - 2) + 1$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1) = e^{(\ln (x - 2) + 1) - 1} + 2$

Paso 5.2.3

Combina los términos opuestos en $e^{(\ln (x - 2) + 1) - 1} + 2$ .

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Paso 5.2.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1) = e^{\ln (x - 2) + 0} + 2$

Paso 5.2.3.2

Suma $\ln (x - 2)$ y $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1) = e^{\ln (x - 2)} + 2$

Paso 5.2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1) = x - 2 + 2$

Paso 5.2.5

Combina los términos opuestos en $x - 2 + 2$ .

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Paso 5.2.5.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1) = x + 0$

Paso 5.2.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (e^{x - 1} + 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = \ln ((e^{x - 1} + 2) - 2) + 1$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $\ln ((e^{x - 1} + 2) - 2) + 1$ .

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Paso 5.3.3.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = \ln (e^{x - 1} + 0) + 1$

Paso 5.3.3.2

Suma $e^{x - 1}$ y $0$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = \ln (e^{x - 1}) + 1$

Paso 5.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.4.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $x - 1$ fuera del exponente.

$f (e^{x - 1} + 2) = (x - 1) \ln (e) + 1$

Paso 5.3.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

Paso 5.3.4.3

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = x - 1 + 1$

Paso 5.3.5

Combina los términos opuestos en $x - 1 + 1$ .

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Paso 5.3.5.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = x + 0$

Paso 5.3.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = e^{x - 1} + 2$ es la inversa de $f (x) = \ln (x - 2) + 1$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x - 1} + 2$