Precálculo Ejemplos

$f (x) = 6 x^{3} - 8$

Paso 1

Escribe $f (x) = 6 x^{3} - 8$ como una ecuación.

$y = 6 x^{3} - 8$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 6 y^{3} - 8$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $6 y^{3} - 8 = x$ .

$6 y^{3} - 8 = x$

Paso 3.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$6 y^{3} = x + 8$

Paso 3.3

Divide cada término en $6 y^{3} = x + 8$ por $6$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $6 y^{3} = x + 8$ por $6$ .

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{8}{6}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{8}{6}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{8}{6}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común de $8$ y $6$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{2 (4)}{6}$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{4}{3}$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4}{3}}$

Paso 3.5

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4}{3}}$ .

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Paso 3.5.1

Para escribir $\frac{4}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 3.5.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}}$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4 \cdot 2}{6}}$

Paso 3.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 4 \cdot 2}{6}}$

Paso 3.5.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 8}{6}}$

Paso 3.5.5

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{x + 8}{6}}$ como $\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$

Paso 3.5.6

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Paso 3.5.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.5.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Paso 3.5.7.2

Eleva $\sqrt[3]{6}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Paso 3.5.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}}$

Paso 3.5.7.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}}$

Paso 3.5.7.5

Reescribe ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ como $6$ .

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Paso 3.5.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{6}$ como $6^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.5.7.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.5.7.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.5.7.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.7.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.5.7.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}}$

Paso 3.5.7.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6}$

Paso 3.5.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.8.1

Reescribe ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ como $\sqrt[3]{6^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} \sqrt[3]{6^{2}}}{6}$

Paso 3.5.8.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} \sqrt[3]{36}}{6}$

Paso 3.5.9

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.5.9.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 8) \cdot 36}}{6}$

Paso 3.5.9.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{(x + 8) \cdot 36}}{6}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$ es la inversa de $f (x) = 6 x^{3} - 8$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (6 x^{3} - 8)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{36 ((6 x^{3} - 8) + 8)}}{6}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Suma $- 8$ y $8$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x^{3} + 0)}}{6}$

Paso 5.2.3.2

Suma $6 x^{3}$ y $0$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{36 \cdot (6 x^{3})}}{6}$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $36$ por $6$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{216 x^{3}}}{6}$

Paso 5.2.3.4

Reescribe $216 x^{3}$ como ${(6 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{{(6 x)}^{3}}}{6}$

Paso 5.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{6 x}{6}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{6 x}{6}$

Paso 5.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 {(\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6})}^{3} - 8$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}^{3}}{6^{3}}) - 8$

Paso 5.3.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.2.1

Reescribe ${\sqrt[3]{36 (x + 8)}}^{3}$ como $36 (x + 8)$ .

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Paso 5.3.3.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{36 (x + 8)}$ como ${(36 (x + 8))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{({(36 (x + 8))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{6^{3}}) - 8$

Paso 5.3.3.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 8))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{6^{3}}) - 8$

Paso 5.3.3.2.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 8))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 8$

Paso 5.3.3.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 8))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 8$

Paso 5.3.3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6^{3}}) - 8$

Paso 5.3.3.2.1.5

Simplifica.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6^{3}}) - 8$

Paso 5.3.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 8}{6^{3}}) - 8$

Paso 5.3.3.2.3

Multiplica $36$ por $8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 288}{6^{3}}) - 8$

Paso 5.3.3.2.4

Factoriza $36$ de $36 x + 288$ .

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Paso 5.3.3.2.4.1

Factoriza $36$ de $36 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x) + 288}{6^{3}}) - 8$

Paso 5.3.3.2.4.2

Factoriza $36$ de $288$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 8}{6^{3}}) - 8$

Paso 5.3.3.2.4.3

Factoriza $36$ de $36 x + 36 \cdot 8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6^{3}}) - 8$

Paso 5.3.3.3

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{216}) - 8$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Factoriza $6$ de $216$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6 (36)}) - 8$

Paso 5.3.3.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6 \cdot 36}) - 8$

Paso 5.3.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = \frac{36 (x + 8)}{36} - 8$

Paso 5.3.3.5

Cancela el factor común de $36$ .

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Paso 5.3.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = \frac{36 (x + 8)}{36} - 8$

Paso 5.3.3.5.2

Divide $x + 8$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = x + 8 - 8$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 8 - 8$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $8$ de $8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$ es la inversa de $f (x) = 6 x^{3} - 8$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$