Precálculo Ejemplos

$h (x) = \log_{7} (x)$

Paso 1

Escribe $h (x) = \log_{7} (x)$ como una ecuación.

$y = \log_{7} (x)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \log_{7} (y)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\log_{7} (y) = x$ .

$\log_{7} (y) = x$

Paso 3.2

Reescribe $\log_{7} (y) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$7^{x} = y$

Paso 3.3

Reescribe la ecuación como $y = 7^{x}$ .

$y = 7^{x}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $h^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$h^{- 1} (x) = 7^{x}$

Paso 5

Verifica si $h^{- 1} (x) = 7^{x}$ es la inversa de $h (x) = \log_{7} (x)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $h^{- 1} (h (x)) = x$ y $h (h^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $h^{- 1} (h (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$h^{- 1} (h (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $h^{- 1} (\log_{7} (x))$ mediante la sustitución del valor de $h$ en $h^{- 1}$ .

$h^{- 1} (\log_{7} (x)) = 7^{\log_{7} (x)}$

Paso 5.2.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$h^{- 1} (\log_{7} (x)) = x$

Paso 5.3

Evalúa $h (h^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$h (h^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $h (7^{x})$ mediante la sustitución del valor de $h^{- 1}$ en $h$ .

$h (7^{x}) = \log_{7} (7^{x})$

Paso 5.3.3

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$h (7^{x}) = x \log_{7} (7)$

Paso 5.3.4

El logaritmo en base $7$ de $7$ es $1$ .

$h (7^{x}) = x \cdot 1$

Paso 5.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$h (7^{x}) = x$

Paso 5.4

Como $h^{- 1} (h (x)) = x$ y $h (h^{- 1} (x)) = x$ , entonces $h^{- 1} (x) = 7^{x}$ es la inversa de $h (x) = \log_{7} (x)$ .

$h^{- 1} (x) = 7^{x}$