Precálculo Ejemplos

$A (x) = x^{\frac{1}{3}} - 3$

Paso 1

Escribe $A (x) = x^{\frac{1}{3}} - 3$ como una ecuación.

$y = x^{\frac{1}{3}} - 3$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = y^{\frac{1}{3}} - 3$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $y^{\frac{1}{3}} - 3 = x$ .

$y^{\frac{1}{3}} - 3 = x$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{\frac{1}{3}} - x = 3$

Paso 3.2.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{\frac{1}{3}} = 3 + x$

Paso 3.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(3 + x)}^{3}$

Paso 3.4

Simplifica el exponente.

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Paso 3.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 + x)}^{3}$

Paso 3.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 + x)}^{3}$

Paso 3.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(3 + x)}^{3}$

Paso 3.4.1.1.2

Simplifica.

$y = {(3 + x)}^{3}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(3 + x)}^{3}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Usa el teorema del binomio.

$y = 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$y = 27 + 3 \cdot 3^{2} x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Paso 3.4.2.1.2.2

Multiplica $3$ por $3^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.2.1.2.2.1

Multiplica $3$ por $3^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.2.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$y = 27 + 3^{1} \cdot 3^{2} x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Paso 3.4.2.1.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = 27 + 3^{1 + 2} x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Paso 3.4.2.1.2.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$y = 27 + 3^{3} x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Paso 3.4.2.1.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$y = 27 + 27 x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Paso 3.4.2.1.2.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = 27 + 27 x + 9 x^{2} + x^{3}$

Paso 3.5

Simplifica $27 + 27 x + 9 x^{2} + x^{3}$ .

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Paso 3.5.1

Mueve $27$ .

$y = 27 x + 9 x^{2} + x^{3} + 27$

Paso 3.5.2

Mueve $27 x$ .

$y = 9 x^{2} + x^{3} + 27 x + 27$

Paso 3.5.3

Reordena $9 x^{2}$ y $x^{3}$ .

$y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Paso 4

Replace $y$ with $A^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$A^{- 1} (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Paso 5

Verifica si $A^{- 1} (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ es la inversa de $A (x) = x^{\frac{1}{3}} - 3$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $A^{- 1} (A (x)) = x$ y $A (A^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $A^{- 1} (A (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$A^{- 1} (A (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3)$ mediante la sustitución del valor de $A$ en $A^{- 1}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Usa el teorema del binomio.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.2.3.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

Paso 5.2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.2.2

Simplifica.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.3.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.2.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.2.4

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.2.5

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 9 + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.2.6

Multiplica $9$ por $3$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.2.7

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.3

Reescribe ${(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}$ como $(x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3)$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 ((x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3)) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.4

Expande $(x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} - 3) - 3 (x^{\frac{1}{3}} - 3)) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (x^{\frac{1}{3}} - 3)) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.5.1.1

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.3.5.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.5.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.5.1.1.3

Suma $1$ y $1$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.5.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{2}{3}} - 3 \cdot x^{\frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.5.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 9) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.5.2

Resta $3 x^{\frac{1}{3}}$ de $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 9) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} + 9 (- 6 x^{\frac{1}{3}}) + 9 \cdot 9 + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.7

Simplifica.

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Paso 5.2.3.7.1

Multiplica $- 6$ por $9$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 9 \cdot 9 + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.7.2

Multiplica $9$ por $9$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Paso 5.2.3.8

Aplica la propiedad distributiva.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 x^{\frac{1}{3}} + 27 \cdot - 3 + 27$

Paso 5.2.3.9

Multiplica $27$ por $- 3$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 27$

Paso 5.2.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los términos opuestos en $x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 27$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Suma $- 9 x^{\frac{2}{3}}$ y $9 x^{\frac{2}{3}}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 0 - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 27$

Paso 5.2.4.1.2

Suma $x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27$ y $0$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 27$

Paso 5.2.4.1.3

Resta $81$ de $81$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 27$

Paso 5.2.4.1.4

Suma $x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}}$ y $0$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} + 27$

Paso 5.2.4.1.5

Suma $- 27$ y $27$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} + 0$

Paso 5.2.4.1.6

Suma $x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}}$ y $0$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.2.4.2

Resta $54 x^{\frac{1}{3}}$ de $27 x^{\frac{1}{3}}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 27 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.2.4.3

Combina los términos opuestos en $x - 27 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Suma $- 27 x^{\frac{1}{3}}$ y $27 x^{\frac{1}{3}}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 0$

Paso 5.2.4.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x$

Paso 5.3

Evalúa $A (A^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$A (A^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $A (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)$ mediante la sustitución del valor de $A^{- 1}$ en $A$ .

$A (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27) = {(x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)}^{\frac{1}{3}} - 3$

Paso 5.4

Como $A^{- 1} (A (x)) = x$ y $A (A^{- 1} (x)) = x$ , entonces $A^{- 1} (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ es la inversa de $A (x) = x^{\frac{1}{3}} - 3$ .

$A^{- 1} (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$