Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{5}{7 x - 8}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{5}{7 x - 8}$ como una ecuación.

$y = \frac{5}{7 x - 8}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{5}{7 y - 8}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{5}{7 y - 8} = x$ .

$\frac{5}{7 y - 8} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$7 y - 8, 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$7 y - 8, 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$7 y - 8$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{5}{7 y - 8} = x$ por $7 y - 8$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{5}{7 y - 8} = x$ por $7 y - 8$ .

$\frac{5}{7 y - 8} (7 y - 8) = x (7 y - 8)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $7 y - 8$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{7 y - 8} (7 y - 8) = x (7 y - 8)$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$5 = x (7 y - 8)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 = x (7 y) + x \cdot - 8$

Paso 3.3.3.2

Reordena.

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Paso 3.3.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 = 7 x y + x \cdot - 8$

Paso 3.3.3.2.2

Mueve $- 8$ a la izquierda de $x$ .

$5 = 7 x y - 8 x$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $7 x y - 8 x = 5$ .

$7 x y - 8 x = 5$

Paso 3.4.2

Suma $8 x$ a ambos lados de la ecuación.

$7 x y = 5 + 8 x$

Paso 3.4.3

Divide cada término en $7 x y = 5 + 8 x$ por $7 x$ y simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Divide cada término en $7 x y = 5 + 8 x$ por $7 x$ .

$\frac{7 x y}{7 x} = \frac{5}{7 x} + \frac{8 x}{7 x}$

Paso 3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 x y}{7 x} = \frac{5}{7 x} + \frac{8 x}{7 x}$

Paso 3.4.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y}{x} = \frac{5}{7 x} + \frac{8 x}{7 x}$

Paso 3.4.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{5}{7 x} + \frac{8 x}{7 x}$

Paso 3.4.3.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{5}{7 x} + \frac{8 x}{7 x}$

Paso 3.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{5}{7 x} + \frac{8 x}{7 x}$

Paso 3.4.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{5}{7 x} + \frac{8}{7}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{5}{7 x} + \frac{8}{7}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{5}{7 x} + \frac{8}{7}$ es la inversa de $f (x) = \frac{5}{7 x - 8}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{5}{7 x - 8})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{7 x - 8}) = \frac{5}{7 (\frac{5}{7 x - 8})} + \frac{8}{7}$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Combina $7$ y $\frac{5}{7 x - 8}$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{7 x - 8}) = \frac{5}{\frac{7 \cdot 5}{7 x - 8}} + \frac{8}{7}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $7$ por $5$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{7 x - 8}) = \frac{5}{\frac{35}{7 x - 8}} + \frac{8}{7}$

Paso 5.2.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{5}{7 x - 8}) = 5 (\frac{7 x - 8}{35}) + \frac{8}{7}$

Paso 5.2.3.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.3.4.1

Factoriza $5$ de $35$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{7 x - 8}) = 5 (\frac{7 x - 8}{5 (7)}) + \frac{8}{7}$

Paso 5.2.3.4.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{5}{7 x - 8}) = 5 (\frac{7 x - 8}{5 \cdot 7}) + \frac{8}{7}$

Paso 5.2.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{5}{7 x - 8}) = \frac{7 x - 8}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 5.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{5}{7 x - 8}) = \frac{7 x - 8 + 8}{7}$

Paso 5.2.4.2

Combina los términos opuestos en $7 x - 8 + 8$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Suma $- 8$ y $8$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{7 x - 8}) = \frac{7 x + 0}{7}$

Paso 5.2.4.2.2

Suma $7 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{7 x - 8}) = \frac{7 x}{7}$

Paso 5.2.4.3

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{5}{7 x - 8}) = \frac{7 x}{7}$

Paso 5.2.4.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{7 x - 8}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{5}{7 x} + \frac{8}{7})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{5}{7 x} + \frac{8}{7}) = \frac{5}{7 (\frac{5}{7 x} + \frac{8}{7}) - 8}$

Paso 5.3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5}{7 x} + \frac{8}{7}) = \frac{5}{7 (\frac{5}{7 x}) + 7 (\frac{8}{7}) - 8}$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$f (\frac{5}{7 x} + \frac{8}{7}) = \frac{5}{7 (\frac{5}{7 (x)}) + 7 (\frac{8}{7}) - 8}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5}{7 x} + \frac{8}{7}) = \frac{5}{7 (\frac{5}{7 x}) + 7 (\frac{8}{7}) - 8}$

Paso 5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5}{7 x} + \frac{8}{7}) = \frac{5}{\frac{5}{x} + 7 (\frac{8}{7}) - 8}$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5}{7 x} + \frac{8}{7}) = \frac{5}{\frac{5}{x} + 7 (\frac{8}{7}) - 8}$

Paso 5.3.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5}{7 x} + \frac{8}{7}) = \frac{5}{\frac{5}{x} + 8 - 8}$

Paso 5.3.3.4

Resta $8$ de $8$ .

$f (\frac{5}{7 x} + \frac{8}{7}) = \frac{5}{\frac{5}{x} + 0}$

Paso 5.3.3.5

Suma $\frac{5}{x}$ y $0$ .

$f (\frac{5}{7 x} + \frac{8}{7}) = \frac{5}{\frac{5}{x}}$

Paso 5.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{5}{7 x} + \frac{8}{7}) = 5 (\frac{x}{5})$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5}{7 x} + \frac{8}{7}) = 5 (\frac{x}{5})$

Paso 5.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5}{7 x} + \frac{8}{7}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{5}{7 x} + \frac{8}{7}$ es la inversa de $f (x) = \frac{5}{7 x - 8}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5}{7 x} + \frac{8}{7}$