Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{5}{2 - x}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{5}{2 - x}$ como una ecuación.

$y = \frac{5}{2 - x}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{5}{2 - y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{5}{2 - y} = x$ .

$\frac{5}{2 - y} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 - y, 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$2 - y, 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$2 - y$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{5}{2 - y} = x$ por $2 - y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{5}{2 - y} = x$ por $2 - y$ .

$\frac{5}{2 - y} (2 - y) = x (2 - y)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2 - y$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{2 - y} (2 - y) = x (2 - y)$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$5 = x (2 - y)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 = x \cdot 2 + x (- y)$

Paso 3.3.3.2

Reordena.

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Paso 3.3.3.2.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$5 = 2 \cdot x + x (- y)$

Paso 3.3.3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 = 2 x - x y$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $2 x - x y = 5$ .

$2 x - x y = 5$

Paso 3.4.2

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- x y = 5 - 2 x$

Paso 3.4.3

Divide cada término en $- x y = 5 - 2 x$ por $- x$ y simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Divide cada término en $- x y = 5 - 2 x$ por $- x$ .

$\frac{- x y}{- x} = \frac{5}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Paso 3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x y}{x} = \frac{5}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Paso 3.4.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{5}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Paso 3.4.3.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{5}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Paso 3.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{5}{x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Paso 3.4.3.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = - \frac{5}{x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Paso 3.4.3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{5}{x} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.4.3.3.1.2.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 2}{- 1}$ .

$y = - \frac{5}{x} - 1 \cdot - 2$

Paso 3.4.3.3.1.3

Reescribe $- 1 \cdot - 2$ como $- - 2$ .

$y = - \frac{5}{x} - - 2$

Paso 3.4.3.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$y = - \frac{5}{x} + 2$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = - \frac{5}{x} + 2$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{5}{x} + 2$ es la inversa de $f (x) = \frac{5}{2 - x}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{5}{2 - x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2 - x}) = - \frac{5}{\frac{5}{2 - x}} + 2$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{5}{2 - x}) = - (5 (\frac{2 - x}{5})) + 2$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{5}{2 - x}) = - (5 (\frac{2 - x}{5})) + 2$

Paso 5.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{5}{2 - x}) = - (2 - x) + 2$

Paso 5.2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{5}{2 - x}) = - 1 \cdot 2 + x + 2$

Paso 5.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2 - x}) = - 2 + x + 2$

Paso 5.2.3.5

Multiplica $- - x$ .

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Paso 5.2.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2 - x}) = - 2 + 1 x + 2$

Paso 5.2.3.5.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2 - x}) = - 2 + x + 2$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $- 2 + x + 2$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2 - x}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2 - x}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- \frac{5}{x} + 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{5}{x} + 2) = \frac{5}{2 - (- \frac{5}{x} + 2)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{5}{x} + 2) = \frac{5}{2 + \frac{5}{x} - 1 \cdot 2}$

Paso 5.3.3.2

Multiplica $- - \frac{5}{x}$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{5}{x} + 2) = \frac{5}{2 + 1 (\frac{5}{x}) - 1 \cdot 2}$

Paso 5.3.3.2.2

Multiplica $\frac{5}{x}$ por $1$ .

$f (- \frac{5}{x} + 2) = \frac{5}{2 + \frac{5}{x} - 1 \cdot 2}$

Paso 5.3.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{5}{x} + 2) = \frac{5}{2 + \frac{5}{x} - 2}$

Paso 5.3.3.4

Resta $2$ de $2$ .

$f (- \frac{5}{x} + 2) = \frac{5}{\frac{5}{x} + 0}$

Paso 5.3.3.5

Suma $\frac{5}{x}$ y $0$ .

$f (- \frac{5}{x} + 2) = \frac{5}{\frac{5}{x}}$

Paso 5.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{5}{x} + 2) = 5 (\frac{x}{5})$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{5}{x} + 2) = 5 (\frac{x}{5})$

Paso 5.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{5}{x} + 2) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{5}{x} + 2$ es la inversa de $f (x) = \frac{5}{2 - x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{5}{x} + 2$