Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{5}{2} x + 3$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{5}{2} x + 3$ como una ecuación.

$y = \frac{5}{2} x + 3$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{5}{2} y + 3$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{5}{2} y + 3 = x$ .

$\frac{5}{2} y + 3 = x$

Paso 3.2

Combina $\frac{5}{2}$ y $y$ .

$\frac{5 y}{2} + 3 = x$

Paso 3.3

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{5 y}{2} = x - 3$

Paso 3.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 y}{2} = \frac{2}{5} (x - 3)$

Paso 3.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1.1

Simplifica $\frac{2}{5} \cdot \frac{5 y}{2}$ .

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Paso 3.5.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 y}{2} = \frac{2}{5} (x - 3)$

Paso 3.5.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{5} (5 y) = \frac{2}{5} (x - 3)$

Paso 3.5.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.5.1.1.2.1

Factoriza $5$ de $5 y$ .

$\frac{1}{5} (5 (y)) = \frac{2}{5} (x - 3)$

Paso 3.5.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{5} (5 y) = \frac{2}{5} (x - 3)$

Paso 3.5.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2}{5} (x - 3)$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica $\frac{2}{5} (x - 3)$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 3$

Paso 3.5.2.1.2

Combina $\frac{2}{5}$ y $x$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 3$

Paso 3.5.2.1.3

Multiplica $\frac{2}{5} \cdot - 3$ .

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Paso 3.5.2.1.3.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $- 3$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 3}{5}$

Paso 3.5.2.1.3.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 6}{5}$

Paso 3.5.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}$ es la inversa de $f (x) = \frac{5}{2} x + 3$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = \frac{2 (\frac{5}{2} x + 3)}{5} - \frac{6}{5}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = \frac{2 (\frac{5}{2} x + 3) - 6}{5}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Combina $\frac{5}{2}$ y $x$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = \frac{2 (\frac{5 x}{2} + 3) - 6}{5}$

Paso 5.2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = \frac{2 (\frac{5 x}{2}) + 2 \cdot 3 - 6}{5}$

Paso 5.2.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = \frac{2 (\frac{5 x}{2}) + 2 \cdot 3 - 6}{5}$

Paso 5.2.4.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = \frac{5 x + 2 \cdot 3 - 6}{5}$

Paso 5.2.4.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = \frac{5 x + 6 - 6}{5}$

Paso 5.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.5.1

Combina los términos opuestos en $5 x + 6 - 6$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Resta $6$ de $6$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = \frac{5 x + 0}{5}$

Paso 5.2.5.1.2

Suma $5 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = \frac{5 x}{5}$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = \frac{5 x}{5}$

Paso 5.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5}{2} x + 3) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = \frac{5}{2} \cdot (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) + 3$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = \frac{5}{2} \cdot \frac{2 x}{5} + \frac{5}{2} \cdot (- \frac{6}{5}) + 3$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = \frac{5}{2} \cdot \frac{2 x}{5} + \frac{5}{2} \cdot (- \frac{6}{5}) + 3$

Paso 5.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{5}{2} \cdot (- \frac{6}{5}) + 3$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{5}{2} \cdot (- \frac{6}{5}) + 3$

Paso 5.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{5}{2} \cdot (- \frac{6}{5}) + 3$

Paso 5.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = x + \frac{5}{2} \cdot (- \frac{6}{5}) + 3$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{6}{5}$ al numerador.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = x + \frac{5}{2} \cdot \frac{- 6}{5} + 3$

Paso 5.3.3.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = x + \frac{5}{2} \cdot \frac{- 6}{5} + 3$

Paso 5.3.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = x + \frac{1}{2} \cdot - 6 + 3$

Paso 5.3.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.5.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 3)) + 3$

Paso 5.3.3.5.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 3) + 3$

Paso 5.3.3.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = x - 3 + 3$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x - 3 + 3$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}$ es la inversa de $f (x) = \frac{5}{2} x + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}$