Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ como una ecuación.

$y = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{3 - 8 y^{3}}{2}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3 - 8 y^{3}}{2} = x$ .

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica $\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Paso 3.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$3 - 8 y^{3} = x \cdot 2$

Paso 3.3.1.1.2

Reordena $3$ y $- 8 y^{3}$ .

$- 8 y^{3} + 3 = x \cdot 2$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$- 8 y^{3} + 3 = 2 x$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 8 y^{3} = 2 x - 3$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $- 8 y^{3} = 2 x - 3$ por $- 8$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $- 8 y^{3} = 2 x - 3$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 y^{3}}{- 8} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 8 y^{3}}{- 8} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ y $- 8$ .

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Paso 3.4.2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y^{3} = \frac{2 (x)}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

Paso 3.4.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$y^{3} = \frac{2 x}{2 \cdot - 4} + \frac{- 3}{- 8}$

Paso 3.4.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y^{3} = \frac{2 x}{2 \cdot - 4} + \frac{- 3}{- 8}$

Paso 3.4.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{3} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 3}{- 8}$

Paso 3.4.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{3} = - \frac{x}{4} + \frac{- 3}{- 8}$

Paso 3.4.2.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y^{3} = - \frac{x}{4} + \frac{3}{8}$

Paso 3.4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{4} + \frac{3}{8}}$

Paso 3.4.4

Simplifica $\sqrt[3]{- \frac{x}{4} + \frac{3}{8}}$ .

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Paso 3.4.4.1

Para escribir $- \frac{x}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{8}}$

Paso 3.4.4.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.4.2.1

Multiplica $\frac{x}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3}{8}}$

Paso 3.4.4.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x \cdot 2}{8} + \frac{3}{8}}$

Paso 3.4.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x \cdot 2 + 3}{8}}$

Paso 3.4.4.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 2 x + 3}{8}}$

Paso 3.4.4.5

Reescribe $\frac{- 2 x + 3}{8}$ como ${(\frac{1}{2})}^{3} (- 2 x + 3)$ .

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Paso 3.4.4.5.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{3}$ de $- 2 x + 3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{8}}$

Paso 3.4.4.5.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{3}$ de $8$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{2^{3} \cdot 1}}$

Paso 3.4.4.5.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{2^{3} \cdot 1}$ .

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} (- 2 x + 3)}$

Paso 3.4.4.6

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{- 2 x + 3}$

Paso 3.4.4.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt[3]{- 2 x + 3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 2 \frac{3 - 8 x^{3}}{2} + 3}}{2}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (- 1) (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) + 3}}{2}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 \cdot (- 1 \frac{3 - 8 x^{3}}{2}) + 3}}{2}$

Paso 5.2.3.1.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 1 (3 - 8 x^{3}) + 3}}{2}$

Paso 5.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 1 \cdot 3 - 1 (- 8 x^{3}) + 3}}{2}$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 3 - 1 (- 8 x^{3}) + 3}}{2}$

Paso 5.2.3.4

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 3 + 8 x^{3} + 3}}{2}$

Paso 5.2.3.5

Suma $- 3$ y $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 0}}{2}$

Paso 5.2.3.6

Suma $8 x^{3}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Paso 5.2.3.7

Reescribe $8 x^{3}$ como ${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Paso 5.2.3.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 {(\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2})}^{3}}{2}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{- 2 x + 3}$ como ${(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 {(\frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{2})}^{3}}{2}$

Paso 5.3.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{({(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}}{2}$

Paso 5.3.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.3.3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}}{2}$

Paso 5.3.3.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}}{2}$

Paso 5.3.3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{2^{3}}}{2}$

Paso 5.3.3.3.2

Simplifica.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{2^{3}}}{2}$

Paso 5.3.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{8}}{2}$

Paso 5.3.3.5

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.3.3.5.1

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 8 (- 1) (\frac{- 2 x + 3}{8})}{2}$

Paso 5.3.3.5.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 8 \cdot (- 1 \frac{- 2 x + 3}{8})}{2}$

Paso 5.3.3.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 1 (- 2 x + 3)}{2}$

Paso 5.3.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 1 (- 2 x) - 1 \cdot 3}{2}$

Paso 5.3.3.7

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 2 x - 1 \cdot 3}{2}$

Paso 5.3.3.8

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 2 x - 3}{2}$

Paso 5.3.3.9

Resta $3$ de $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 5.3.3.10

Suma $2 x$ y $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.3.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$