Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x}{x - 6}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{2 x}{x - 6}$ como una ecuación.

$y = \frac{2 x}{x - 6}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{2 y}{y - 6}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica la ecuación por $y - 6$ .

$(y - 6) (x) = (\frac{2 y}{y - 6}) (y - 6)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y x - 6 x = (\frac{2 y}{y - 6}) (y - 6)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $y - 6$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y x - 6 x = \frac{2 y}{y - 6} (y - 6)$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y x - 6 x = 2 y$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$y x - 6 x - 2 y = 0$

Paso 3.4.2

Suma $6 x$ a ambos lados de la ecuación.

$y x - 2 y = 6 x$

Paso 3.4.3

Factoriza $y$ de $y x - 2 y$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$y (x) - 2 y = 6 x$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $y$ de $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = 6 x$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $y$ de $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = 6 x$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $y (x - 2) = 6 x$ por $x - 2$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $y (x - 2) = 6 x$ por $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{6 x}{x - 2}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{6 x}{x - 2}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{6 x}{x - 2}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{x - 2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{x - 2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{2 x}{x - 6}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{6 (\frac{2 x}{x - 6})}{(\frac{2 x}{x - 6}) - 2}$

Paso 5.2.3

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $6$ y $(\frac{2 x}{x - 6}) - 2$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $6 (\frac{2 x}{x - 6})$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{(\frac{2 x}{x - 6}) - 2}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $\frac{2 x}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{2 (\frac{x}{x - 6}) - 2}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{2 (\frac{x}{x - 6}) + 2 (- 1)}$

Paso 5.2.3.1.2.3

Factoriza $2$ de $2 \frac{x}{x - 6} + 2 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{2 (\frac{x}{x - 6} - 1)}$

Paso 5.2.3.1.2.4

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{2 (\frac{x}{x - 6} - 1)}$

Paso 5.2.3.1.2.5

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{3 (\frac{2 x}{x - 6})}{\frac{x}{x - 6} - 1}$

Paso 5.2.3.2

Combina $3$ y $\frac{2 x}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x}{x - 6} - 1}$

Paso 5.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x}{x - 6} - 1 \cdot \frac{x - 6}{x - 6}}$

Paso 5.2.4.2

Combina $- 1$ y $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x}{x - 6} + \frac{- (x - 6)}{x - 6}}$

Paso 5.2.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x - (x - 6)}{x - 6}}$

Paso 5.2.4.4

Reescribe $\frac{x - (x - 6)}{x - 6}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x - x + 6}{x - 6}}$

Paso 5.2.4.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x - x + 6}{x - 6}}$

Paso 5.2.4.4.3

Resta $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{0 + 6}{x - 6}}$

Paso 5.2.4.4.4

Suma $0$ y $6$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{6}{x - 6}}$

Paso 5.2.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{6 x}{x - 6}}{\frac{6}{x - 6}}$

Paso 5.2.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{6 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{6}$

Paso 5.2.7

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.2.7.1

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{6 (x)}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{6}$

Paso 5.2.7.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{6 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{6}$

Paso 5.2.7.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

Paso 5.2.8

Cancela el factor común de $x - 6$ .

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Paso 5.2.8.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

Paso 5.2.8.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{6 x}{x - 2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{(\frac{6 x}{x - 2}) - 6}$

Paso 5.3.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $2$ de $\frac{6 x}{x - 2}$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{2 (\frac{3 x}{x - 2}) - 6}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{2 (\frac{3 x}{x - 2}) + 2 \cdot - 3}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $2$ de $2 \frac{3 x}{x - 2} + 2 (- 3)$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{2 (\frac{3 x}{x - 2} - 3)}$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{2 (\frac{3 x}{x - 2} - 3)}$

Paso 5.3.3.5

Reescribe la expresión.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{\frac{6 x}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} - 3}$

Paso 5.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{x - 2} - 3}$

Paso 5.3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.5.1

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{x - 2} - 3 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Paso 5.3.5.2

Combina $- 3$ y $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{x - 2} + \frac{- 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Paso 5.3.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Paso 5.3.5.4

Reescribe $\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.5.4.1

Factoriza $3$ de $3 x - 3 (x - 2)$ .

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Paso 5.3.5.4.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x) - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Paso 5.3.5.4.1.2

Factoriza $3$ de $- 3 (x - 2)$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x) + 3 (- (x - 2))}{x - 2}}$

Paso 5.3.5.4.1.3

Factoriza $3$ de $3 (x) + 3 (- (x - 2))$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

Paso 5.3.5.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Paso 5.3.5.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Paso 5.3.5.4.4

Resta $x$ de $x$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (0 + 2)}{x - 2}}$

Paso 5.3.5.4.5

Suma $0$ y $2$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 \cdot 2}{x - 2}}$

Paso 5.3.5.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{6}{x - 2}}$

Paso 5.3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot (1 (\frac{x - 2}{6}))$

Paso 5.3.7

Multiplica $\frac{x - 2}{6}$ por $1$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.3.8.1

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Paso 5.3.8.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Paso 5.3.8.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Paso 5.3.9

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 5.3.9.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Paso 5.3.9.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{x - 2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{2 x}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{x - 2}$