Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}$ como una ecuación.

$y = \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{- 2 y - 1}{- y + 2}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{- 2 y - 1}{- y + 2} = x$ .

$\frac{- 2 y - 1}{- y + 2} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$- y + 2, 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$- y + 2, 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$- y + 2$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{- 2 y - 1}{- y + 2} = x$ por $- y + 2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{- 2 y - 1}{- y + 2} = x$ por $- y + 2$ .

$\frac{- 2 y - 1}{- y + 2} (- y + 2) = x (- y + 2)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $\frac{- 2 y - 1}{- y + 2}$ por $- y + 2$ .

$\frac{(- 2 y - 1) (- y + 2)}{- y + 2} = x (- y + 2)$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común de $- y + 2$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(- 2 y - 1) (- y + 2)}{- y + 2} = x (- y + 2)$

Paso 3.3.2.2.2

Divide $- 2 y - 1$ por $1$ .

$- 2 y - 1 = x (- y + 2)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 y - 1 = x (- y) + x \cdot 2$

Paso 3.3.3.2

Reordena.

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Paso 3.3.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 2 y - 1 = - x y + x \cdot 2$

Paso 3.3.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$- 2 y - 1 = - x y + 2 x$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Suma $x y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 y - 1 + x y = 2 x$

Paso 3.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 y + x y = 2 x + 1$

Paso 3.4.3

Factoriza $y$ de $- 2 y + x y$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $y$ de $- 2 y$ .

$y \cdot - 2 + x y = 2 x + 1$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $y$ de $x y$ .

$y \cdot - 2 + y x = 2 x + 1$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $y$ de $y \cdot - 2 + y x$ .

$y (- 2 + x) = 2 x + 1$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $y (- 2 + x) = 2 x + 1$ por $- 2 + x$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $y (- 2 + x) = 2 x + 1$ por $- 2 + x$ .

$\frac{y (- 2 + x)}{- 2 + x} = \frac{2 x}{- 2 + x} + \frac{1}{- 2 + x}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $- 2 + x$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (- 2 + x)}{- 2 + x} = \frac{2 x}{- 2 + x} + \frac{1}{- 2 + x}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 x}{- 2 + x} + \frac{1}{- 2 + x}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 x + 1}{- 2 + x}$

Paso 3.4.4.3.2

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y = \frac{2 x + 1}{- 1 (2) + x}$

Paso 3.4.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$y = \frac{2 x + 1}{- 1 (2) - 1 (- x)}$

Paso 3.4.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2) - 1 (- x)$ .

$y = \frac{2 x + 1}{- 1 (2 - x)}$

Paso 3.4.4.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2 x + 1}{2 - x}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x + 1}{2 - x}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x + 1}{2 - x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{2 (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) + 1}{2 - (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2})}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Combina $2$ y $\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{\frac{2 (- 2 x - 1)}{- x + 2} + 1}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Paso 5.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{\frac{2 (- 2 x - 1)}{- x + 2} + \frac{- x + 2}{- x + 2}}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Paso 5.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{\frac{2 (- 2 x - 1) - x + 2}{- x + 2}}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Paso 5.2.3.4

Reordena los términos.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{\frac{- x + 2 (- 2 x - 1) + 2}{- x + 2}}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Paso 5.2.3.5

Reescribe $\frac{- x + 2 (- 2 x - 1) + 2}{- x + 2}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{\frac{- x + 2 (- 2 x) + 2 \cdot - 1 + 2}{- x + 2}}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Paso 5.2.3.5.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{\frac{- x - 4 x + 2 \cdot - 1 + 2}{- x + 2}}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Paso 5.2.3.5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{\frac{- x - 4 x - 2 + 2}{- x + 2}}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Paso 5.2.3.5.4

Resta $4 x$ de $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{\frac{- 5 x - 2 + 2}{- x + 2}}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Paso 5.2.3.5.5

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{\frac{- 5 x + 0}{- x + 2}}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Paso 5.2.3.5.6

Suma $- 5 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{\frac{- 5 x}{- x + 2}}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Paso 5.2.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{2 - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Paso 5.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.1

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- x + 2}{- x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 (- x + 2)}{- x + 2} - \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}}$

Paso 5.2.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 (- x + 2) - (- 2 x - 1)}{- x + 2}}$

Paso 5.2.4.3

Reescribe $\frac{2 (- x + 2) - (- 2 x - 1)}{- x + 2}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 (- x) + 2 \cdot 2 - (- 2 x - 1)}{- x + 2}}$

Paso 5.2.4.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{- 2 x + 2 \cdot 2 - (- 2 x - 1)}{- x + 2}}$

Paso 5.2.4.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{- 2 x + 4 - (- 2 x - 1)}{- x + 2}}$

Paso 5.2.4.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{- 2 x + 4 - (- 2 x) + 1}{- x + 2}}$

Paso 5.2.4.3.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{- 2 x + 4 + 2 x + 1}{- x + 2}}$

Paso 5.2.4.3.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{- 2 x + 4 + 2 x + 1}{- x + 2}}$

Paso 5.2.4.3.7

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{0 + 4 + 1}{- x + 2}}$

Paso 5.2.4.3.8

Suma $0$ y $4$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{4 + 1}{- x + 2}}$

Paso 5.2.4.3.9

Suma $4$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{- \frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{5}{- x + 2}}$

Paso 5.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (- \frac{5 x}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{5})$

Paso 5.2.6

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5 x}{- x + 2}$ al numerador.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{- 5 x}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{5})$

Paso 5.2.6.2

Factoriza $5$ de $- 5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{5 (- x)}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{5})$

Paso 5.2.6.3

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{5 (- x)}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{5})$

Paso 5.2.6.4

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{- x}{- x + 2} \cdot (- x + 2))$

Paso 5.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (- \frac{x}{- x + 2} \cdot (- x + 2))$

Paso 5.2.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (- \frac{x}{- x + 2} \cdot (- x) - \frac{x}{- x + 2} \cdot 2)$

Paso 5.2.9

Multiplica $- \frac{x}{- x + 2} (- x)$ .

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Paso 5.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (1 (\frac{x}{- x + 2}) \cdot x - \frac{x}{- x + 2} \cdot 2)$

Paso 5.2.9.2

Multiplica $\frac{x}{- x + 2}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{x}{- x + 2} \cdot x - \frac{x}{- x + 2} \cdot 2)$

Paso 5.2.9.3

Combina $\frac{x}{- x + 2}$ y $x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{x \cdot x}{- x + 2} - \frac{x}{- x + 2} \cdot 2)$

Paso 5.2.9.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{x \cdot x}{- x + 2} - \frac{x}{- x + 2} \cdot 2)$

Paso 5.2.9.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{x \cdot x}{- x + 2} - \frac{x}{- x + 2} \cdot 2)$

Paso 5.2.9.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{x^{1 + 1}}{- x + 2} - \frac{x}{- x + 2} \cdot 2)$

Paso 5.2.9.7

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{x^{2}}{- x + 2} - \frac{x}{- x + 2} \cdot 2)$

Paso 5.2.10

Multiplica $- \frac{x}{- x + 2} \cdot 2$ .

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Paso 5.2.10.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{x^{2}}{- x + 2} - 2 \frac{x}{- x + 2})$

Paso 5.2.10.2

Combina $- 2$ y $\frac{x}{- x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (\frac{x^{2}}{- x + 2} + \frac{- 2 x}{- x + 2})$

Paso 5.2.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{x^{2} - 2 x}{- x + 2}$

Paso 5.2.12

Factoriza $x$ de $x^{2} - 2 x$ .

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Paso 5.2.12.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{x \cdot x - 2 x}{- x + 2}$

Paso 5.2.12.2

Factoriza $x$ de $- 2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{- x + 2}$

Paso 5.2.12.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{x (x - 2)}{- x + 2}$

Paso 5.2.13

Cancela el factor común de $x - 2$ y $- x + 2$ .

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Paso 5.2.13.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{x (- 1 (- x) - 2)}{- x + 2}$

Paso 5.2.13.2

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{x (- 1 (- x) - 1 \cdot 2)}{- x + 2}$

Paso 5.2.13.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (2)$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{x (- 1 (- x + 2))}{- x + 2}$

Paso 5.2.13.4

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - \frac{x (- 1 (- x + 2))}{- x + 2}$

Paso 5.2.13.5

Divide $x \cdot (- 1)$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (x \cdot (- 1))$

Paso 5.2.14

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.14.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = - (- 1 x)$

Paso 5.2.14.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{- x + 2}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- \frac{2 x + 1}{2 - x})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- 2 (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) - 1}{- (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) + 2}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) - 1$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Reordena $2$ y $- x$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- 2 \cdot (- 1 \frac{2 x + 1}{- x + 2}) - 1}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Paso 5.3.3.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 \cdot - 1 \frac{2 x + 1}{- x + 2}$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- (- 2 \frac{2 x + 1}{- x + 2}) - 1}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Paso 5.3.3.1.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- (- 2 \frac{2 x + 1}{- x + 2}) - 1 \cdot 1}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Paso 5.3.3.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (- 2 \frac{2 x + 1}{- x + 2}) - 1 (1)$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- (- 2 \frac{2 x + 1}{- x + 2} + 1)}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Paso 5.3.3.2

Combina $- 2$ y $\frac{2 x + 1}{- x + 2}$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- (\frac{- 2 (2 x + 1)}{- x + 2} + 1)}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Paso 5.3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- (- \frac{2 (2 x + 1)}{- x + 2} + 1)}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Paso 5.3.3.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- (- \frac{2 (2 x + 1)}{- x + 2} + \frac{- x + 2}{- x + 2})}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Paso 5.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- \frac{- 2 (2 x + 1) - x + 2}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Paso 5.3.3.6

Reordena los términos.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- \frac{- x + 2 - 2 (2 x + 1)}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Paso 5.3.3.7

Reescribe $\frac{- x + 2 - 2 (2 x + 1)}{- x + 2}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- \frac{- x + 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Paso 5.3.3.7.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- \frac{- x + 2 - 4 x - 2 \cdot 1}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Paso 5.3.3.7.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- \frac{- x + 2 - 4 x - 2}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Paso 5.3.3.7.4

Resta $4 x$ de $- x$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- \frac{- 5 x + 2 - 2}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Paso 5.3.3.7.5

Resta $2$ de $2$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- \frac{- 5 x + 0}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Paso 5.3.3.7.6

Suma $- 5 x$ y $0$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{- \frac{- 5 x}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Paso 5.3.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{1 (\frac{5 x}{- x + 2})}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Paso 5.3.3.9

Combina exponentes.

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Paso 5.3.3.9.1

Factoriza el negativo.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Paso 5.3.3.9.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{1 (\frac{5 x}{- x + 2})}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Paso 5.3.3.9.3

Multiplica $\frac{5 x}{- x + 2}$ por $1$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + 2}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1}{2 - x} + \frac{2 (2 - x)}{2 - x}}$

Paso 5.3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 x + 1 + 2 (2 - x)}{2 - x}}$

Paso 5.3.4.3

Reordena los términos.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 x + 2 (2 - x) + 1}{- x + 2}}$

Paso 5.3.4.4

Reescribe $\frac{2 x + 2 (2 - x) + 1}{- x + 2}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 x + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + 1}{- x + 2}}$

Paso 5.3.4.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 x + 4 + 2 (- x) + 1}{- x + 2}}$

Paso 5.3.4.4.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{2 x + 4 - 2 x + 1}{- x + 2}}$

Paso 5.3.4.4.4

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{0 + 4 + 1}{- x + 2}}$

Paso 5.3.4.4.5

Suma $0$ y $4$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{4 + 1}{- x + 2}}$

Paso 5.3.4.4.6

Suma $4$ y $1$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{\frac{5 x}{- x + 2}}{\frac{5}{- x + 2}}$

Paso 5.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{5 x}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{5}$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.6.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{5 (x)}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{5}$

Paso 5.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{5 x}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{5}$

Paso 5.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{x}{- x + 2} \cdot (- x + 2)$

Paso 5.3.7

Multiplica $\frac{x}{- x + 2}$ por $- x + 2$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{x (- x + 2)}{- x + 2}$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $- x + 2$ .

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Paso 5.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = \frac{x (- x + 2)}{- x + 2}$

Paso 5.3.8.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (- \frac{2 x + 1}{2 - x}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x + 1}{2 - x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{- 2 x - 1}{- x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x + 1}{2 - x}$