Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x} - 2$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{x} - 2$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{x} - 2$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{y} - 2$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{y} - 2 = x$ .

$\frac{1}{y} - 2 = x$

Paso 3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{y} = x + 2$

Paso 3.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1, 1$

Paso 3.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 3.4

Multiplica cada término en $\frac{1}{y} = x + 2$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.4.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{y} = x + 2$ por $y$ .

$\frac{1}{y} y = x y + 2 y$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} y = x y + 2 y$

Paso 3.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = x y + 2 y$

Paso 3.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $x y + 2 y = 1$ .

$x y + 2 y = 1$

Paso 3.5.2

Factoriza $y$ de $x y + 2 y$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$y x + 2 y = 1$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $y$ de $2 y$ .

$y x + y \cdot 2 = 1$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $y$ de $y x + y \cdot 2$ .

$y (x + 2) = 1$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $y (x + 2) = 1$ por $x + 2$ y simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $y (x + 2) = 1$ por $x + 2$ .

$\frac{y (x + 2)}{x + 2} = \frac{1}{x + 2}$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x + 2)}{x + 2} = \frac{1}{x + 2}$

Paso 3.5.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{x + 2}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x + 2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x + 2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{x} - 2$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{x} - 2)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x} - 2) = \frac{1}{(\frac{1}{x} - 2) + 2}$

Paso 5.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.3.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x} - 2) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Paso 5.2.3.2

Suma $\frac{1}{x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x} - 2) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Paso 5.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{1}{x} - 2) = 1 x$

Paso 5.2.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x} - 2) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{1}{x + 2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{1}{x + 2}) = \frac{1}{\frac{1}{x + 2}} - 2$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{1}{x + 2}) = 1 (x + 2) - 2$

Paso 5.3.3.2

Multiplica $x + 2$ por $1$ .

$f (\frac{1}{x + 2}) = x + 2 - 2$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 2 - 2$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (\frac{1}{x + 2}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{1}{x + 2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x + 2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{x} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x + 2}$