Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ como una ecuación.

$y = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica la ecuación por $y^{2} + y - 2$ .

$(y^{2} + y - 2) (x) = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} x + y x - 2 x = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica $(\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.3.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 y + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Paso 3.3.1.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Paso 3.3.1.1.3

Reescribe el polinomio.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Paso 3.3.1.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Paso 3.3.1.2

Factoriza $y^{2} + y - 2$ con el método AC.

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Paso 3.3.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 3.3.1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)} (y^{2} + y - 2)$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $\frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)}$ por $y^{2} + y - 2$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y^{2} + y - 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Paso 3.3.1.4

Factoriza $y^{2} + y - 2$ con el método AC.

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Paso 3.3.1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 3.3.1.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} ((y - 1) (y + 2))}{(y - 1) (y + 2)}$

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Paso 3.3.1.5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.3.1.5.1

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 3.3.1.5.1.1

Cancela el factor común.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Paso 3.3.1.5.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

Paso 3.3.1.5.2

Cancela el factor común de $y + 2$ .

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Paso 3.3.1.5.2.1

Cancela el factor común.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

Paso 3.3.1.5.2.2

Divide ${(y + 1)}^{2}$ por $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = {(y + 1)}^{2}$

Paso 3.3.1.5.3

Reescribe ${(y + 1)}^{2}$ como $(y + 1) (y + 1)$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = (y + 1) (y + 1)$

Paso 3.3.1.6

Expande $(y + 1) (y + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} x + y x - 2 x = y (y + 1) + 1 (y + 1)$

Paso 3.3.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)$

Paso 3.3.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Paso 3.3.1.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.7.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Paso 3.3.1.7.1.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1$

Paso 3.3.1.7.1.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1 \cdot 1$

Paso 3.3.1.7.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1$

Paso 3.3.1.7.2

Suma $y$ y $y$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + 2 y + 1$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.4.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} = 2 y + 1$

Paso 3.4.1.2

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y = 1$

Paso 3.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y - 1 = 0$

Paso 3.4.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4.4

Sustituye los valores $a = x - 1$ , $b = x - 2$ y $c = - 2 x - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- (x - 2) \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot ((x - 1) \cdot (- 2 x - 1))}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.3

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.4

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.5.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.5.5.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.5.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.5.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.5.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.6

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.7

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.8

Expande $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.5.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.9

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.5.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.5.9.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.9.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.5.9.1.2.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.9.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.9.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.9.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.9.1.5

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.9.1.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.9.2

Resta $8 x$ de $4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.10

Suma $x^{2}$ y $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.11

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.12

Resta $4$ de $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.13

Suma $9 x^{2} - 8 x$ y $0$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.14

Factoriza $x$ de $9 x^{2} - 8 x$ .

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Paso 3.4.5.14.1

Factoriza $x$ de $9 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.14.2

Factoriza $x$ de $- 8 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.5.14.3

Factoriza $x$ de $x (9 x) + x \cdot - 8$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.4.6.1

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{- x + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.6.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{- (x) + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.6.3

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.6.4

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x - 2) + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.6.5

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{x (9 x - 8)}$ .

$y = \frac{- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.6.6

Factoriza $- 1$ de $- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.6.7

Reescribe $- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ como $- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.6.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.4.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.3

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.4

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.7.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.7.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.7.1.5.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.5.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.5.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.5.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.7

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.8

Expande $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.7.1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.9

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.7.1.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.7.1.9.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.9.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.7.1.9.1.2.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.9.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.9.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.9.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.9.1.5

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.9.1.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.9.2

Resta $8 x$ de $4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.10

Suma $x^{2}$ y $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.11

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.12

Resta $4$ de $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.13

Suma $9 x^{2} - 8 x$ y $0$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.14

Factoriza $x$ de $9 x^{2} - 8 x$ .

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Paso 3.4.7.1.14.1

Factoriza $x$ de $9 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.14.2

Factoriza $x$ de $- 8 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.1.14.3

Factoriza $x$ de $x (9 x) + x \cdot - 8$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.2

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{- x + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{- (x) + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.4

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x - 2) - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.6

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{x (9 x - 8)}$ .

$y = \frac{- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.7

Factoriza $- 1$ de $- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.8

Reescribe $- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ como $- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.7.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Paso 3.4.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

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Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ y $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

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Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, \infty)$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $- \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ .

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Paso 5.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{x (9 x - 8)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x (9 x - 8) \geq 0$

Paso 5.3.2

Resuelve $x$

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Paso 5.3.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$9 x - 8 = 0$

Paso 5.3.2.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5.3.2.3

Establece $9 x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Establece $9 x - 8$ igual a $0$ .

$9 x - 8 = 0$

Paso 5.3.2.3.2

Resuelve $9 x - 8 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.3.2.3.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x = 8$

Paso 5.3.2.3.2.2

Divide cada término en $9 x = 8$ por $9$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.3.2.2.1

Divide cada término en $9 x = 8$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Paso 5.3.2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.3.2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Paso 5.3.2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{9}$

Paso 5.3.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (9 x - 8) \geq 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{8}{9}$

Paso 5.3.2.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < \frac{8}{9}$

$x > \frac{8}{9}$

Paso 5.3.2.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.3.2.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.2.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 5.3.2.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$(- 2) (9 (- 2) - 8) \geq 0$

Paso 5.3.2.6.1.3

$52$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 5.3.2.6.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{8}{9}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.2.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{8}{9}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.44$

Paso 5.3.2.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0.44$ en la desigualdad original.

$(0.44) (9 (0.44) - 8) \geq 0$

Paso 5.3.2.6.2.3

$- 1.7776$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 5.3.2.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{8}{9}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.2.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{8}{9}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 5.3.2.6.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$(3) (9 (3) - 8) \geq 0$

Paso 5.3.2.6.3.3

$57$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 5.3.2.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < \frac{8}{9}$ Falso

$x > \frac{8}{9}$ Verdadero

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < \frac{8}{9}$ Falso

$x > \frac{8}{9}$ Verdadero

Paso 5.3.2.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq 0$ o $x \geq \frac{8}{9}$

Paso 5.3.3

Establece el denominador en $\frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 (x - 1) = 0$

Paso 5.3.4

Resuelve $x$

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Paso 5.3.4.1

Divide cada término en $2 (x - 1) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.3.4.1.1

Divide cada término en $2 (x - 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 5.3.4.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.4.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.4.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 5.3.4.1.2.1.2

Divide $x - 1$ por $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

Paso 5.3.4.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.4.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x - 1 = 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5.3.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ no es igual al rango de $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ no es una inversa de $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

No hay una inversa

Paso 6