Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} + 10$

Paso 1

Escribe $f (x) = x^{3} + 10$ como una ecuación.

$y = x^{3} + 10$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = y^{3} + 10$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $y^{3} + 10 = x$ .

$y^{3} + 10 = x$

Paso 3.2

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{3} = x - 10$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{x - 10}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 10}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 10}$ es la inversa de $f (x) = x^{3} + 10$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (x^{3} + 10)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{3} + 10) = \sqrt[3]{(x^{3} + 10) - 10}$

Paso 5.2.3

Resta $10$ de $10$ .

$f^{- 1} (x^{3} + 10) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Paso 5.2.4

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$f^{- 1} (x^{3} + 10) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Paso 5.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (x^{3} + 10) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\sqrt[3]{x - 10})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\sqrt[3]{x - 10}) = {(\sqrt[3]{x - 10})}^{3} + 10$

Paso 5.3.3

Reescribe ${\sqrt[3]{x - 10}}^{3}$ como $x - 10$ .

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Paso 5.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x - 10}$ como ${(x - 10)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 10}) = {({(x - 10)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 10$

Paso 5.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 10}) = {(x - 10)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 10$

Paso 5.3.3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (\sqrt[3]{x - 10}) = {(x - 10)}^{\frac{3}{3}} + 10$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[3]{x - 10}) = {(x - 10)}^{\frac{3}{3}} + 10$

Paso 5.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[3]{x - 10}) = (x - 10) + 10$

Paso 5.3.3.5

Simplifica.

$f (\sqrt[3]{x - 10}) = x - 10 + 10$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x - 10 + 10$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- 10$ y $10$ .

$f (\sqrt[3]{x - 10}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\sqrt[3]{x - 10}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 10}$ es la inversa de $f (x) = x^{3} + 10$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 10}$