Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 7}{x + 7}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x - 7}{x + 7}$ como una ecuación.

$y = \frac{x - 7}{x + 7}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y - 7}{y + 7}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y - 7}{y + 7} = x$ .

$\frac{y - 7}{y + 7} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y + 7, 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y + 7, 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y + 7$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{y - 7}{y + 7} = x$ por $y + 7$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{y - 7}{y + 7} = x$ por $y + 7$ .

$\frac{y - 7}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $y + 7$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y - 7}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y - 7 = x (y + 7)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 7 = x y + x \cdot 7$

Paso 3.3.3.2

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$y - 7 = x y + 7 x$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Resta $x y$ de ambos lados de la ecuación.

$y - 7 - x y = 7 x$

Paso 3.4.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$y - x y = 7 x + 7$

Paso 3.4.3

Factoriza $y$ de $y - x y$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 7 x + 7$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $y$ de $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 7 x + 7$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 7 x + 7$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $y (1 - x) = 7 x + 7$ por $1 - x$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $y (1 - x) = 7 x + 7$ por $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{7 x}{1 - x} + \frac{7}{1 - x}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{7 x}{1 - x} + \frac{7}{1 - x}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{7 x}{1 - x} + \frac{7}{1 - x}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{7 x + 7}{1 - x}$

Paso 3.4.4.3.2

Factoriza $7$ de $7 x + 7$ .

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Paso 3.4.4.3.2.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$y = \frac{7 (x) + 7}{1 - x}$

Paso 3.4.4.3.2.2

Factoriza $7$ de $7$ .

$y = \frac{7 (x) + 7 (1)}{1 - x}$

Paso 3.4.4.3.2.3

Factoriza $7$ de $7 (x) + 7 (1)$ .

$y = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x - 7}{x + 7}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 ((\frac{x - 7}{x + 7}) + 1)}{1 - (\frac{x - 7}{x + 7})}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{x - 7}{x + 7} + \frac{x + 7}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Paso 5.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{x - 7 + x + 7}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Paso 5.2.3.3

Reordena los términos.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{x + x - 7 + 7}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Paso 5.2.3.4

Reescribe $\frac{x + x - 7 + 7}{x + 7}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.3.4.1

Suma $x$ y $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x - 7 + 7}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Paso 5.2.3.4.2

Suma $- 7$ y $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x + 0}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Paso 5.2.3.4.3

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Paso 5.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{x + 7}{x + 7} - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Paso 5.2.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{x + 7 - (x - 7)}{x + 7}}$

Paso 5.2.4.3

Reescribe $\frac{x + 7 - (x - 7)}{x + 7}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{x + 7 - x + 7}{x + 7}}$

Paso 5.2.4.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{x + 7 - x + 7}{x + 7}}$

Paso 5.2.4.3.3

Resta $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{0 + 7 + 7}{x + 7}}$

Paso 5.2.4.3.4

Suma $0$ y $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{7 + 7}{x + 7}}$

Paso 5.2.4.3.5

Suma $7$ y $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{14}{x + 7}}$

Paso 5.2.5

Combina $7$ y $\frac{2 x}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{14}{x + 7}}$

Paso 5.2.6

Multiplica $7$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{\frac{14 x}{x + 7}}{\frac{14}{x + 7}}$

Paso 5.2.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{14 x}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Paso 5.2.8

Cancela el factor común de $14$ .

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Paso 5.2.8.1

Factoriza $14$ de $14 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{14 (x)}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Paso 5.2.8.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{14 x}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Paso 5.2.8.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7)$

Paso 5.2.9

Cancela el factor común de $x + 7$ .

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Paso 5.2.9.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7)$

Paso 5.2.9.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) - 7}{(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) + 7}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) - 7$ y $(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) + 7$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $7$ de $\frac{7 (x + 1)}{1 - x}$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x}) - 7}{(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) + 7}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $7$ de $- 7$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x}) + 7 \cdot - 1}{\frac{7 (x + 1)}{1 - x} + 7}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $7$ de $7 \frac{x + 1}{1 - x} + 7 (- 1)$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) + 7}$

Paso 5.3.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.4.1

Factoriza $7$ de $\frac{7 (x + 1)}{1 - x}$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{7 (\frac{x + 1}{1 - x}) + 7}$

Paso 5.3.3.4.2

Factoriza $7$ de $7$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{7 (\frac{x + 1}{1 - x}) + 7 (1)}$

Paso 5.3.3.4.3

Factoriza $7$ de $7 \frac{x + 1}{1 - x} + 7 (1)$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{7 (\frac{x + 1}{1 - x} + 1)}$

Paso 5.3.3.4.4

Cancela el factor común.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{7 (\frac{x + 1}{1 - x} + 1)}$

Paso 5.3.3.4.5

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

Paso 5.3.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - x$ .

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Paso 5.3.4.1

Multiplica $\frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$ por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{1 - x}{1 - x} \cdot \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

Paso 5.3.4.2

Combinar.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x} + 1)}$

Paso 5.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}$

Paso 5.3.6

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 5.3.6.1

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 5.3.6.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}$

Paso 5.3.6.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}$

Paso 5.3.6.2

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 5.3.6.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}$

Paso 5.3.6.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Paso 5.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 + 1 \cdot - 1 - x \cdot - 1}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Paso 5.3.7.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 - 1 - x \cdot - 1}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Paso 5.3.7.3

Multiplica $- x \cdot - 1$ .

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Paso 5.3.7.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 - 1 + 1 x}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Paso 5.3.7.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 - 1 + x}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Paso 5.3.7.4

Suma $x$ y $x$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x + 1 - 1}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Paso 5.3.7.5

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x + 0}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Paso 5.3.7.6

Suma $2 x$ y $0$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Paso 5.3.8

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.8.1

Multiplica $1 - x$ por $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{x + 1 + 1 - x}$

Paso 5.3.8.2

Resta $x$ de $x$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

Paso 5.3.8.3

Suma $0$ y $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 + 1}$

Paso 5.3.8.4

Suma $1$ y $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.3.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.9.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.3.9.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x - 7}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$