Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 5}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x - 1}{x + 5}$ como una ecuación.

$y = \frac{x - 1}{x + 5}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y - 1}{y + 5}$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y - 1}{y + 5} = x$ .

$\frac{y - 1}{y + 5} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y + 5, 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y + 5, 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y + 5$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{y - 1}{y + 5} = x$ por $y + 5$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{y - 1}{y + 5} = x$ por $y + 5$ .

$\frac{y - 1}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $y + 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y - 1}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y - 1 = x (y + 5)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = x y + x \cdot 5$

Paso 3.3.3.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$y - 1 = x y + 5 x$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Resta $x y$ de ambos lados de la ecuación.

$y - 1 - x y = 5 x$

Paso 3.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y - x y = 5 x + 1$

Paso 3.4.3

Factoriza $y$ de $y - x y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 5 x + 1$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $y$ de $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 5 x + 1$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 5 x + 1$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $y (1 - x) = 5 x + 1$ por $1 - x$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $y (1 - x) = 5 x + 1$ por $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{5 x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $1 - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{5 x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{5 x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{5 x + 1}{1 - x}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x + 1}{1 - x}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{5 x + 1}{1 - x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x - 1}{x + 5}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{5 (\frac{x - 1}{x + 5}) + 1}{1 - (\frac{x - 1}{x + 5})}$

Paso 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x + 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Multiplica $\frac{5 \frac{x - 1}{x + 5} + 1}{1 - \frac{x - 1}{x + 5}}$ por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{x + 5}{x + 5} \cdot \frac{5 (\frac{x - 1}{x + 5}) + 1}{1 - \frac{x - 1}{x + 5}}$

Paso 5.2.3.2

Combinar.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5}) + 1)}{(x + 5) (1 - \frac{x - 1}{x + 5})}$

Paso 5.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 + (x + 5) (- \frac{x - 1}{x + 5})}$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $x + 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x - 1}{x + 5}$ al numerador.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 + (x + 5) (\frac{- (x - 1)}{x + 5})}$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 + (x + 5) (\frac{- (x - 1)}{x + 5})}$

Paso 5.2.5.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.6.1

Factoriza $x + 5$ de $(x + 5) \cdot 5 \frac{x - 1}{x + 5} + (x + 5) \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.6.1.1

Factoriza $x + 5$ de $(x + 5) \cdot 5 \frac{x - 1}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.1.2

Factoriza $x + 5$ de $(x + 5) \cdot 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) (1)}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.1.3

Factoriza $x + 5$ de $(x + 5) (5 \frac{x - 1}{x + 5}) + (x + 5) (1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5}) + 1)}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.2

Combina $5$ y $\frac{x - 1}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{5 (x - 1)}{x + 5} + 1)}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{5 (x - 1)}{x + 5} + \frac{x + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{5 (x - 1) + x + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.5

Reordena los términos.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{x + 5 (x - 1) + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.6

Reescribe $\frac{x + 5 (x - 1) + 5}{x + 5}$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.6.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{x + 5 x + 5 \cdot - 1 + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.6.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{x + 5 x - 5 + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.6.3

Suma $x$ y $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x - 5 + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.6.4

Suma $- 5$ y $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x + 0}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.6.6.5

Suma $6 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Paso 5.2.7

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.7.1

Multiplica $x + 5$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{x + 5 - (x - 1)}$

Paso 5.2.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{x + 5 - x + 1}$

Paso 5.2.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{x + 5 - x + 1}$

Paso 5.2.7.4

Resta $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{0 + 5 + 1}$

Paso 5.2.7.5

Suma $0$ y $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{5 + 1}$

Paso 5.2.7.6

Suma $5$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{6}$

Paso 5.2.8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.8.1

Factoriza $\frac{6 x}{x + 5}$ de $\frac{(x + 5) \frac{6 x}{x + 5}}{6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{6 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{6}$

Paso 5.2.8.2

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.8.2.1

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{6 (x)}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{6}$

Paso 5.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{6 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{6}$

Paso 5.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Paso 5.2.8.3

Cancela el factor común de $x + 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.8.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Paso 5.2.8.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{5 x + 1}{1 - x})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{(\frac{5 x + 1}{1 - x}) - 1}{(\frac{5 x + 1}{1 - x}) + 5}$

Paso 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Multiplica $\frac{\frac{5 x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{5 x + 1}{1 - x} + 5}$ por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{1 - x}{1 - x} \cdot \frac{\frac{5 x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{5 x + 1}{1 - x} + 5}$

Paso 5.3.3.2

Combinar.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x} - 1)}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x} + 5)}$

Paso 5.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 5}$

Paso 5.3.5

Simplifica mediante la cancelación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común de $1 - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 5}$

Paso 5.3.5.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 5}$

Paso 5.3.5.2

Cancela el factor común de $1 - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 5}$

Paso 5.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Paso 5.3.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 + 1 \cdot - 1 - x \cdot - 1}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Paso 5.3.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 - 1 - x \cdot - 1}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Paso 5.3.6.3

Multiplica $- x \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.6.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 - 1 + 1 x}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Paso 5.3.6.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 - 1 + x}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Paso 5.3.6.4

Suma $5 x$ y $x$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x + 1 - 1}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Paso 5.3.6.5

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x + 0}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Paso 5.3.6.6

Suma $6 x$ y $0$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Paso 5.3.7

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{5 x + 1 + 1 \cdot 5 - x \cdot 5}$

Paso 5.3.7.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{5 x + 1 + 5 - x \cdot 5}$

Paso 5.3.7.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{5 x + 1 + 5 - 5 x}$

Paso 5.3.7.4

Resta $5 x$ de $5 x$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{0 + 1 + 5}$

Paso 5.3.7.5

Suma $0$ y $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{1 + 5}$

Paso 5.3.7.6

Suma $1$ y $5$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{6}$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{6}$

Paso 5.3.8.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{5 x + 1}{1 - x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x - 1}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x + 1}{1 - x}$