Precálculo Ejemplos

$f (x) = e^{3 x - 5} - 2$

Paso 1

Escribe $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ como una ecuación.

$y = e^{3 x - 5} - 2$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = e^{3 y - 5} - 2$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $e^{3 y - 5} - 2 = x$ .

$e^{3 y - 5} - 2 = x$

Paso 3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$e^{3 y - 5} = x + 2$

Paso 3.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{3 y - 5}) = \ln (x + 2)$

Paso 3.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Expande $\ln (e^{3 y - 5})$ ; para ello, mueve $3 y - 5$ fuera del logaritmo.

$(3 y - 5) \ln (e) = \ln (x + 2)$

Paso 3.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(3 y - 5) \cdot 1 = \ln (x + 2)$

Paso 3.4.3

Multiplica $3 y - 5$ por $1$ .

$3 y - 5 = \ln (x + 2)$

Paso 3.5

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = \ln (x + 2) + 5$

Paso 3.6

Divide cada término en $3 y = \ln (x + 2) + 5$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.6.1

Divide cada término en $3 y = \ln (x + 2) + 5$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Paso 3.6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ es la inversa de $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Paso 5.2.3

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.3.1

Combina los términos opuestos en $\frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5} + 0)}{3} + \frac{5}{3}$

Paso 5.2.3.1.2

Suma $e^{3 x - 5}$ y $0$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5})}{3} + \frac{5}{3}$

Paso 5.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5}) + 5}{3}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $3 x - 5$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \ln (e) + 5}{3}$

Paso 5.2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \cdot 1 + 5}{3}$

Paso 5.2.4.3

Multiplica $3 x - 5$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x - 5 + 5}{3}$

Paso 5.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.5.1

Combina los términos opuestos en $3 x - 5 + 5$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x + 0}{3}$

Paso 5.2.5.1.2

Suma $3 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Paso 5.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1.1

Reescribe $\frac{\ln (x + 2)}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (x + 2) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Paso 5.3.3.1.1.2

Simplifica $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Paso 5.3.3.1.2

Para escribir $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Paso 5.3.3.1.3

Combina $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Paso 5.3.3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3 + 5}{3}) - 5} - 2$

Paso 5.3.3.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1.5.1.1

Multiplica $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3$ .

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Paso 5.3.3.1.5.1.1.1

Reordena $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ y $3$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Paso 5.3.3.1.5.1.1.2

Simplifica $3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Paso 5.3.3.1.5.1.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.3.3.1.5.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Paso 5.3.3.1.5.1.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.1.5.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Paso 5.3.3.1.5.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{1}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Paso 5.3.3.1.5.1.3

Simplifica.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

Paso 5.3.3.1.5.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

Paso 5.3.3.1.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 5 - 5} - 2$

Paso 5.3.3.2

Combina los términos opuestos en $\ln (x + 2) + 5 - 5$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Resta $5$ de $5$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 0} - 2$

Paso 5.3.3.2.2

Suma $\ln (x + 2)$ y $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2)} - 2$

Paso 5.3.3.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 2 - 2$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 2 - 2$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ es la inversa de $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$