Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{8}{5 + x}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{8}{5 + x}$ como una ecuación.

$y = \frac{8}{5 + x}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{8}{5 + y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{8}{5 + y} = x$ .

$\frac{8}{5 + y} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$5 + y, 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$5 + y, 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$5 + y$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{8}{5 + y} = x$ por $5 + y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{8}{5 + y} = x$ por $5 + y$ .

$\frac{8}{5 + y} (5 + y) = x (5 + y)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $5 + y$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8}{5 + y} (5 + y) = x (5 + y)$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$8 = x (5 + y)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 = x \cdot 5 + x y$

Paso 3.3.3.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$8 = 5 x + x y$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $5 x + x y = 8$ .

$5 x + x y = 8$

Paso 3.4.2

Resta $5 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x y = 8 - 5 x$

Paso 3.4.3

Divide cada término en $x y = 8 - 5 x$ por $x$ y simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Divide cada término en $x y = 8 - 5 x$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{8}{x} + \frac{- 5 x}{x}$

Paso 3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{8}{x} + \frac{- 5 x}{x}$

Paso 3.4.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{8}{x} + \frac{- 5 x}{x}$

Paso 3.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{8}{x} + \frac{- 5 x}{x}$

Paso 3.4.3.3.1.2

Divide $- 5$ por $1$ .

$y = \frac{8}{x} - 5$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{8}{x} - 5$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{8}{x} - 5$ es la inversa de $f (x) = \frac{8}{5 + x}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{8}{5 + x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{8}{5 + x}) = \frac{8}{\frac{8}{5 + x}} - 5$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{8}{5 + x}) = 8 (\frac{5 + x}{8}) - 5$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{8}{5 + x}) = 8 (\frac{5 + x}{8}) - 5$

Paso 5.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{8}{5 + x}) = 5 + x - 5$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $5 + x - 5$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (\frac{8}{5 + x}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{8}{5 + x}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{8}{x} - 5)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{8}{x} - 5) = \frac{8}{5 + \frac{8}{x} - 5}$

Paso 5.3.3

Elimina los paréntesis.

$f (\frac{8}{x} - 5) = \frac{8}{5 + \frac{8}{x} - 5}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Resta $5$ de $5$ .

$f (\frac{8}{x} - 5) = \frac{8}{\frac{8}{x} + 0}$

Paso 5.3.4.2

Suma $\frac{8}{x}$ y $0$ .

$f (\frac{8}{x} - 5) = \frac{8}{\frac{8}{x}}$

Paso 5.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{8}{x} - 5) = 8 (\frac{x}{8})$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.3.6.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{8}{x} - 5) = 8 (\frac{x}{8})$

Paso 5.3.6.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{8}{x} - 5) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{8}{x} - 5$ es la inversa de $f (x) = \frac{8}{5 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{8}{x} - 5$