Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{7}{x} - 3$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{7}{x} - 3$ como una ecuación.

$y = \frac{7}{x} - 3$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{7}{y} - 3$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{7}{y} - 3 = x$ .

$\frac{7}{y} - 3 = x$

Paso 3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{7}{y} = x + 3$

Paso 3.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1, 1$

Paso 3.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 3.4

Multiplica cada término en $\frac{7}{y} = x + 3$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.4.1

Multiplica cada término en $\frac{7}{y} = x + 3$ por $y$ .

$\frac{7}{y} y = x y + 3 y$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7}{y} y = x y + 3 y$

Paso 3.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$7 = x y + 3 y$

Paso 3.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $x y + 3 y = 7$ .

$x y + 3 y = 7$

Paso 3.5.2

Factoriza $y$ de $x y + 3 y$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$y x + 3 y = 7$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $y$ de $3 y$ .

$y x + y \cdot 3 = 7$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $y$ de $y x + y \cdot 3$ .

$y (x + 3) = 7$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $y (x + 3) = 7$ por $x + 3$ y simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $y (x + 3) = 7$ por $x + 3$ .

$\frac{y (x + 3)}{x + 3} = \frac{7}{x + 3}$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x + 3)}{x + 3} = \frac{7}{x + 3}$

Paso 3.5.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{7}{x + 3}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{7}{x + 3}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{7}{x + 3}$ es la inversa de $f (x) = \frac{7}{x} - 3$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{7}{x} - 3)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{x} - 3) = \frac{7}{(\frac{7}{x} - 3) + 3}$

Paso 5.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.3.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{x} - 3) = \frac{7}{\frac{7}{x} + 0}$

Paso 5.2.3.2

Suma $\frac{7}{x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{x} - 3) = \frac{7}{\frac{7}{x}}$

Paso 5.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{7}{x} - 3) = 7 (\frac{x}{7})$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{7}{x} - 3) = 7 (\frac{x}{7})$

Paso 5.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{7}{x} - 3) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{7}{x + 3})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{7}{x + 3}) = \frac{7}{\frac{7}{x + 3}} - 3$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{7}{x + 3}) = 7 (\frac{x + 3}{7}) - 3$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{7}{x + 3}) = 7 (\frac{x + 3}{7}) - 3$

Paso 5.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7}{x + 3}) = x + 3 - 3$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 3 - 3$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $3$ de $3$ .

$f (\frac{7}{x + 3}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{7}{x + 3}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{7}{x + 3}$ es la inversa de $f (x) = \frac{7}{x} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7}{x + 3}$