Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{3 x - 6}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt{3 x - 6}$ como una ecuación.

$y = \sqrt{3 x - 6}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{3 y - 6}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{3 y - 6} = x$ .

$\sqrt{3 y - 6} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{3 y - 6}}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 y - 6}$ como ${(3 y - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(3 y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 y - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 y - 6)}^{1} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$3 y - 6 = x^{2}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = x^{2} + 6$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $3 y = x^{2} + 6$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $3 y = x^{2} + 6$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{6}{3}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{6}{3}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{6}{3}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Divide $6$ por $3$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + 2$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + 2$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + 2$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{3 x - 6}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{(\sqrt{3 x - 6})}^{2}}{3} + 2$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $3 x - 6$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{\sqrt{3 (x) - 6}}^{2}}{3} + 2$

Paso 5.2.3.1.1.2

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{\sqrt{3 x + 3 \cdot - 2}}^{2}}{3} + 2$

Paso 5.2.3.1.1.3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{\sqrt{3 (x - 2)}}^{2}}{3} + 2$

Paso 5.2.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{3 (x - 2)}}^{2}$ como $3 (x - 2)$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 (x - 2)}$ como ${(3 (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{({(3 (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3} + 2$

Paso 5.2.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{(3 (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3} + 2$

Paso 5.2.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{(3 (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}{3} + 2$

Paso 5.2.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{(3 (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}{3} + 2$

Paso 5.2.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 (x - 2)}{3} + 2$

Paso 5.2.3.1.2.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 (x - 2)}{3} + 2$

Paso 5.2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 x + 3 \cdot - 2}{3} + 2$

Paso 5.2.3.1.4

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 x - 6}{3} + 2$

Paso 5.2.3.1.5

Factoriza $3$ de $3 x - 6$ .

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Paso 5.2.3.1.5.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 (x) - 6}{3} + 2$

Paso 5.2.3.1.5.2

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 x + 3 \cdot - 2}{3} + 2$

Paso 5.2.3.1.5.3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 (x - 2)}{3} + 2$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 (x - 2)}{3} + 2$

Paso 5.2.3.2.2

Divide $x - 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = x - 2 + 2$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 2 + 2$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{2}}{3} + 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2) - 6}$

Paso 5.3.3

Factoriza $3$ de $3 (\frac{x^{2}}{3} + 2) - 6$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2) + 3 \cdot - 2}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $3$ de $3 (\frac{x^{2}}{3} + 2) + 3 \cdot - 2$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2 - 2)}$

Paso 5.3.4

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.3.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 0)}$

Paso 5.3.4.2

Suma $\frac{x^{2}}{3}$ y $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3})}$

Paso 5.3.5

Combina $3$ y $\frac{x^{2}}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Paso 5.3.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.6.1

Reduce la expresión $\frac{3 x^{2}}{3}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.6.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Paso 5.3.6.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Paso 5.3.6.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

Paso 5.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + 2$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{3 x - 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + 2$