Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{4 x - 4}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt{4 x - 4}$ como una ecuación.

$y = \sqrt{4 x - 4}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{4 y - 4}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{4 y - 4} = x$ .

$\sqrt{4 y - 4} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{4 y - 4}}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 y - 4}$ como ${(4 y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(4 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(4 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(4 y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(4 y - 4)}^{1} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$4 y - 4 = x^{2}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y = x^{2} + 4$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $4 y = x^{2} + 4$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $4 y = x^{2} + 4$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4}{4}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4}{4}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4}{4}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Divide $4$ por $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 1$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + 1$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + 1$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{4 x - 4}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{(\sqrt{4 x - 4})}^{2}}{4} + 1$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $4$ de $4 x - 4$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{\sqrt{4 (x) - 4}}^{2}}{4} + 1$

Paso 5.2.3.1.1.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{\sqrt{4 (x) + 4 (- 1)}}^{2}}{4} + 1$

Paso 5.2.3.1.1.3

Factoriza $4$ de $4 (x) + 4 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{\sqrt{4 (x - 1)}}^{2}}{4} + 1$

Paso 5.2.3.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{\sqrt{2^{2} (x - 1)}}^{2}}{4} + 1$

Paso 5.2.3.1.3

Retira los términos de abajo del radical.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{(2 \sqrt{x - 1})}^{2}}{4} + 1$

Paso 5.2.3.1.4

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{2^{2} {\sqrt{x - 1}}^{2}}{4} + 1$

Paso 5.2.3.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {\sqrt{x - 1}}^{2}}{4} + 1$

Paso 5.2.3.1.6

Reescribe ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ como $x - 1$ .

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Paso 5.2.3.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 1$

Paso 5.2.3.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 1$

Paso 5.2.3.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 1$

Paso 5.2.3.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 1$

Paso 5.2.3.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x - 1)}{4} + 1$

Paso 5.2.3.1.6.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x - 1)}{4} + 1$

Paso 5.2.3.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 x + 4 \cdot - 1}{4} + 1$

Paso 5.2.3.1.8

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 x - 4}{4} + 1$

Paso 5.2.3.1.9

Factoriza $4$ de $4 x - 4$ .

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Paso 5.2.3.1.9.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x) - 4}{4} + 1$

Paso 5.2.3.1.9.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x) + 4 (- 1)}{4} + 1$

Paso 5.2.3.1.9.3

Factoriza $4$ de $4 (x) + 4 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x - 1)}{4} + 1$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x - 1)}{4} + 1$

Paso 5.2.3.2.2

Divide $x - 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = x - 1 + 1$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 1 + 1$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{2}}{4} + 1)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 1) - 4}$

Paso 5.3.3

Factoriza $4$ de $4 (\frac{x^{2}}{4} + 1) - 4$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 1) + 4 (- 1)}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $4$ de $4 (\frac{x^{2}}{4} + 1) + 4 (- 1)$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 1 - 1)}$

Paso 5.3.4

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.3.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 0)}$

Paso 5.3.4.2

Suma $\frac{x^{2}}{4}$ y $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4})}$

Paso 5.3.5

Combina $4$ y $\frac{x^{2}}{4}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Paso 5.3.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.6.1

Reduce la expresión $\frac{4 x^{2}}{4}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.6.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Paso 5.3.6.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Paso 5.3.6.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{x^{2}}$

Paso 5.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + 1$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{4 x - 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + 1$