Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{8 x + 10}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ como una ecuación.

$y = \sqrt{8 x + 10}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{8 y + 10}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{8 y + 10} = x$ .

$\sqrt{8 y + 10} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{8 y + 10}}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{8 y + 10}$ como ${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(8 y + 10)}^{1} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$8 y + 10 = x^{2}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$8 y = x^{2} - 10$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $8 y = x^{2} - 10$ por $8$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $8 y = x^{2} - 10$ por $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.3.1.1

Cancela el factor común de $- 10$ y $8$ .

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Paso 3.4.2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 (- 5)}{8}$

Paso 3.4.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

Paso 3.4.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

Paso 3.4.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 5}{4}$

Paso 3.4.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(\sqrt{8 x + 10})}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $8 x + 10$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $8 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x) + 10}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Paso 5.2.3.1.1.2

Factoriza $2$ de $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x) + 2 (5)}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Paso 5.2.3.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 (4 x) + 2 (5)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x + 5)}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Paso 5.2.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{2 (4 x + 5)}}^{2}$ como $2 (4 x + 5)$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 (4 x + 5)}$ como ${(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{({(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8} - \frac{5}{4}$

Paso 5.2.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{2}{2}}}{8} - \frac{5}{4}$

Paso 5.2.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{2}{2}}}{8} - \frac{5}{4}$

Paso 5.2.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

Paso 5.2.3.1.2.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

Paso 5.2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot 5}{8} - \frac{5}{4}$

Paso 5.2.3.1.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{8 x + 2 \cdot 5}{8} - \frac{5}{4}$

Paso 5.2.3.1.5

Multiplica $2$ por $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{8 x + 10}{8} - \frac{5}{4}$

Paso 5.2.3.1.6

Factoriza $2$ de $8 x + 10$ .

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Paso 5.2.3.1.6.1

Factoriza $2$ de $8 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 10}{8} - \frac{5}{4}$

Paso 5.2.3.1.6.2

Factoriza $2$ de $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 2 (5)}{8} - \frac{5}{4}$

Paso 5.2.3.1.6.3

Factoriza $2$ de $2 (4 x) + 2 (5)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

Paso 5.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{2 \cdot 4} - \frac{5}{4}$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{2 \cdot 4} - \frac{5}{4}$

Paso 5.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 5}{4} - \frac{5}{4}$

Paso 5.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 5 - 5}{4}$

Paso 5.2.4.2

Combina los términos opuestos en $4 x + 5 - 5$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Resta $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Paso 5.2.4.2.2

Suma $4 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.2.4.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.2.4.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 10}$

Paso 5.3.3

Factoriza $2$ de $8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 10$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $2$ de $8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 10}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $2$ de $10$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 2 (5)}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $2$ de $2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 2 (5)$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 5)}$

Paso 5.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.5.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{4 (2)}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

Paso 5.3.5.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 2}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

Paso 5.3.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{4}$ al numerador.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (\frac{- 5}{4}) + 5)}$

Paso 5.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (\frac{- 5}{4}) + 5)}$

Paso 5.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 5 + 5)}$

Paso 5.3.7

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.3.7.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 0)}$

Paso 5.3.7.2

Suma $\frac{x^{2}}{2}$ y $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2})}$

Paso 5.3.8

Combina $2$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Paso 5.3.9

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.9.1

Reduce la expresión $\frac{2 x^{2}}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.9.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Paso 5.3.9.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Paso 5.3.9.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{x^{2}}$

Paso 5.3.10

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$