Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{8 - x}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt{8 - x}$ como una ecuación.

$y = \sqrt{8 - x}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{8 - y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{8 - y} = x$ .

$\sqrt{8 - y} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{8 - y}}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{8 - y}$ como ${(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(8 - y)}^{1} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$8 - y = x^{2}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = x^{2} - 8$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $- y = x^{2} - 8$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $- y = x^{2} - 8$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 3.4.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 3.4.2.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 3.4.2.3.1.3

Divide $- 8$ por $- 1$ .

$y = - x^{2} + 8$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 8$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 8$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{8 - x}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{8 - x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {(\sqrt{8 - x})}^{2} + 8$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Reescribe ${\sqrt{8 - x}}^{2}$ como $8 - x$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{8 - x}$ como ${(8 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {({(8 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8$

Paso 5.2.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {(8 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8$

Paso 5.2.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {(8 - x)}^{\frac{2}{2}} + 8$

Paso 5.2.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {(8 - x)}^{\frac{2}{2}} + 8$

Paso 5.2.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - (8 - x) + 8$

Paso 5.2.3.1.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - (8 - x) + 8$

Paso 5.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - 1 \cdot 8 + x + 8$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - 8 + x + 8$

Paso 5.2.3.4

Multiplica $- - x$ .

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Paso 5.2.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - 8 + 1 x + 8$

Paso 5.2.3.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - 8 + x + 8$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $- 8 + x + 8$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 8$ y $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- x^{2} + 8)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{8 - (- x^{2} + 8)}$

Paso 5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{8 + x^{2} - 1 \cdot 8}$

Paso 5.3.4

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{8 + x^{2} - 8}$

Paso 5.3.5

Resta $8$ de $8$ .

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Paso 5.3.6

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{x^{2}}$

Paso 5.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- x^{2} + 8) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 8$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{8 - x}$ .

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 8$