Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{2 x - 5}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt{2 x - 5}$ como una ecuación.

$y = \sqrt{2 x - 5}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{2 y - 5}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{2 y - 5} = x$ .

$\sqrt{2 y - 5} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 y - 5}}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 y - 5}$ como ${(2 y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(2 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 y - 5)}^{1} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$2 y - 5 = x^{2}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y = x^{2} + 5$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $2 y = x^{2} + 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $2 y = x^{2} + 5$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{2 x - 5}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{(\sqrt{2 x - 5})}^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{(\sqrt{2 x - 5})}^{2} + 5}{2}$

Paso 5.2.4

Reescribe ${\sqrt{2 x - 5}}^{2}$ como $2 x - 5$ .

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Paso 5.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x - 5}$ como ${(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{({(2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5}{2}$

Paso 5.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5}{2}$

Paso 5.2.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{(2 x - 5)}^{\frac{2}{2}} + 5}{2}$

Paso 5.2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{{(2 x - 5)}^{\frac{2}{2}} + 5}{2}$

Paso 5.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{(2 x - 5) + 5}{2}$

Paso 5.2.4.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{2 x - 5 + 5}{2}$

Paso 5.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.5.1

Combina los términos opuestos en $2 x - 5 + 5$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 5.2.5.1.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x - 5}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) - 5}$

Paso 5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (\frac{5}{2}) - 5}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (\frac{5}{2}) - 5}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{x^{2} + 2 (\frac{5}{2}) - 5}$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{x^{2} + 2 (\frac{5}{2}) - 5}$

Paso 5.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{x^{2} + 5 - 5}$

Paso 5.3.6

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.3.6.1

Resta $5$ de $5$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Paso 5.3.6.2

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Paso 5.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{2 x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2}$