Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{4 - 5 x}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt{4 - 5 x}$ como una ecuación.

$y = \sqrt{4 - 5 x}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{4 - 5 y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{4 - 5 y} = x$ .

$\sqrt{4 - 5 y} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{4 - 5 y}}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 - 5 y}$ como ${(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(4 - 5 y)}^{1} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$4 - 5 y = x^{2}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 y = x^{2} - 4$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $- 5 y = x^{2} - 4$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $- 5 y = x^{2} - 4$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{x^{2}}{- 5} + \frac{- 4}{- 5}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{x^{2}}{- 5} + \frac{- 4}{- 5}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 5} + \frac{- 4}{- 5}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 4}{- 5}$

Paso 3.4.2.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{4 - 5 x}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = - \frac{{(\sqrt{4 - 5 x})}^{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {(\sqrt{4 - 5 x})}^{2} + 4}{5}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Reescribe ${\sqrt{4 - 5 x}}^{2}$ como $4 - 5 x$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 - 5 x}$ como ${(4 - 5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {({(4 - 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}{5}$

Paso 5.2.4.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {(4 - 5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}{5}$

Paso 5.2.4.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {(4 - 5 x)}^{\frac{2}{2}} + 4}{5}$

Paso 5.2.4.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.1.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {(4 - 5 x)}^{\frac{2}{2}} + 4}{5}$

Paso 5.2.4.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- (4 - 5 x) + 4}{5}$

Paso 5.2.4.1.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- (4 - 5 x) + 4}{5}$

Paso 5.2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- 1 \cdot 4 - (- 5 x) + 4}{5}$

Paso 5.2.4.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- 4 - (- 5 x) + 4}{5}$

Paso 5.2.4.4

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- 4 + 5 x + 4}{5}$

Paso 5.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.5.1

Combina los términos opuestos en $- 4 + 5 x + 4$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{5 x + 0}{5}$

Paso 5.2.5.1.2

Suma $5 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{5 x}{5}$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{5 x}{5}$

Paso 5.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 - 5 (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5})}$

Paso 5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 - 5 (- \frac{x^{2}}{5}) - 5 (\frac{4}{5})}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{5}$ al numerador.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 - 5 \frac{- x^{2}}{5} - 5 (\frac{4}{5})}$

Paso 5.3.4.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + 5 (- 1) (\frac{- x^{2}}{5}) - 5 (\frac{4}{5})}$

Paso 5.3.4.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + 5 \cdot (- 1 \frac{- x^{2}}{5}) - 5 (\frac{4}{5})}$

Paso 5.3.4.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 - 1 (- x^{2}) - 5 (\frac{4}{5})}$

Paso 5.3.5

Multiplica.

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Paso 5.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + 1 x^{2} - 5 (\frac{4}{5})}$

Paso 5.3.5.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} - 5 (\frac{4}{5})}$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.6.1

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} + 5 (- 1) (\frac{4}{5})}$

Paso 5.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} + 5 \cdot (- 1 (\frac{4}{5}))}$

Paso 5.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 5.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} - 4}$

Paso 5.3.7.2

Resta $4$ de $4$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Paso 5.3.7.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{x^{2}}$

Paso 5.3.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{4 - 5 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$