Precálculo Ejemplos

$f (x) = 6 \log (x) - 3$

Paso 1

Escribe $f (x) = 6 \log (x) - 3$ como una ecuación.

$y = 6 \log (x) - 3$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 6 \log (y) - 3$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $6 \log (y) - 3 = x$ .

$6 \log (y) - 3 = x$

Paso 3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$6 \log (y) = x + 3$

Paso 3.3

Divide cada término en $6 \log (y) = x + 3$ por $6$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $6 \log (y) = x + 3$ por $6$ .

$\frac{6 \log (y)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 \log (y)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $\log (y)$ por $1$ .

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Paso 3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 3.4

Reescribe $\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}} = y$

Paso 3.5

Reescribe la ecuación como $y = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ .

$y = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ es la inversa de $f (x) = 6 \log (x) - 3$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (6 \log (x) - 3)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{6 \log (x) - 3}{6} + \frac{1}{2}}$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $6 \log (x) - 3$ y $6$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $6 \log (x)$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x)) - 3}{6} + \frac{1}{2}}$

Paso 5.2.3.1.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x)) + 3 (- 1)}{6} + \frac{1}{2}}$

Paso 5.2.3.1.3

Factoriza $3$ de $3 (2 \log (x)) + 3 (- 1)$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{6} + \frac{1}{2}}$

Paso 5.2.3.1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.4.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{3 (2)} + \frac{1}{2}}$

Paso 5.2.3.1.4.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}}$

Paso 5.2.3.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x) - 1}{2} + \frac{1}{2}}$

Paso 5.2.3.2

Simplifica $2 \log (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) - 1}{2} + \frac{1}{2}}$

Paso 5.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) - 1 + 1}{2}}$

Paso 5.2.4.2

Combina los términos opuestos en $\log (x^{2}) - 1 + 1$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) + 0}{2}}$

Paso 5.2.4.2.2

Suma $\log (x^{2})$ y $0$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2})}{2}}$

Paso 5.2.5

Expande $\log (x^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x)}{2}}$

Paso 5.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.6.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x)}{2}}$

Paso 5.2.6.2

Divide $\log (x)$ por $1$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\log (x)}$

Paso 5.2.7

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 \log (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) - 3$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $\frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ fuera del exponente.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 ((\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) \log (10)) - 3$

Paso 5.3.3.2

El logaritmo en base $10$ de $10$ es $1$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 ((\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) \cdot 1) - 3$

Paso 5.3.3.3

Multiplica $\frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ por $1$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) - 3$

Paso 5.3.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Paso 5.3.3.5

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.3.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Paso 5.3.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Paso 5.3.3.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.6.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 2 (3) (\frac{1}{2}) - 3$

Paso 5.3.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2})) - 3$

Paso 5.3.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 3 - 3$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 3 - 3$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $3$ de $3$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ es la inversa de $f (x) = 6 \log (x) - 3$ .

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$