Precálculo Ejemplos

$f (x) = 4 + \sqrt{x + 4}$

Paso 1

Escribe $f (x) = 4 + \sqrt{x + 4}$ como una ecuación.

$y = 4 + \sqrt{x + 4}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 4 + \sqrt{y + 4}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $4 + \sqrt{y + 4} = x$ .

$4 + \sqrt{y + 4} = x$

Paso 3.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{y + 4} = x - 4$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y + 4}}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 4}$ como ${(y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 4)}^{1} = {(x - 4)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica.

$y + 4 = {(x - 4)}^{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(x - 4)}^{2}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Reescribe ${(x - 4)}^{2}$ como $(x - 4) (x - 4)$ .

$y + 4 = (x - 4) (x - 4)$

Paso 3.4.3.1.2

Expande $(x - 4) (x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 4 = x (x - 4) - 4 (x - 4)$

Paso 3.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 4 = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)$

Paso 3.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 4 = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

Paso 3.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y + 4 = x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

Paso 3.4.3.1.3.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$y + 4 = x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4$

Paso 3.4.3.1.3.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$y + 4 = x^{2} - 4 x - 4 x + 16$

Paso 3.4.3.1.3.2

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$y + 4 = x^{2} - 8 x + 16$

Paso 3.5

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x^{2} - 8 x + 16 - 4$

Paso 3.5.2

Resta $4$ de $16$ .

$y = x^{2} - 8 x + 12$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x + 12$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x + 12$ es la inversa de $f (x) = 4 + \sqrt{x + 4}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = {(4 + \sqrt{x + 4})}^{2} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Reescribe ${(4 + \sqrt{x + 4})}^{2}$ como $(4 + \sqrt{x + 4}) (4 + \sqrt{x + 4})$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = (4 + \sqrt{x + 4}) (4 + \sqrt{x + 4}) - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Paso 5.2.3.2

Expande $(4 + \sqrt{x + 4}) (4 + \sqrt{x + 4})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 4 (4 + \sqrt{x + 4}) + \sqrt{x + 4} (4 + \sqrt{x + 4}) - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Paso 5.2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 4 \cdot 4 + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} (4 + \sqrt{x + 4}) - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Paso 5.2.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 4 \cdot 4 + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \cdot 4 + \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Paso 5.2.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.3.1.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \cdot 4 + \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Paso 5.2.3.3.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $\sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Paso 5.2.3.3.1.3

Multiplica $\sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4}$ .

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Paso 5.2.3.3.1.3.1

Eleva $\sqrt{x + 4}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Paso 5.2.3.3.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {\sqrt{x + 4}}^{1 + 1} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Paso 5.2.3.3.1.3.3

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {\sqrt{x + 4}}^{2} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Paso 5.2.3.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{x + 4}}^{2}$ como $x + 4$ .

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Paso 5.2.3.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 4}$ como ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Paso 5.2.3.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Paso 5.2.3.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {(x + 4)}^{\frac{2}{2}} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Paso 5.2.3.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {(x + 4)}^{\frac{2}{2}} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Paso 5.2.3.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + x + 4 - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Paso 5.2.3.3.1.4.5

Simplifica.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + x + 4 - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Paso 5.2.3.3.2

Suma $16$ y $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + x - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Paso 5.2.3.3.3

Suma $4 \sqrt{x + 4}$ y $4 \sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + 8 \sqrt{x + 4} + x - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Paso 5.2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + 8 \sqrt{x + 4} + x - 8 \cdot 4 - 8 \sqrt{x + 4} + 12$

Paso 5.2.3.5

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + 8 \sqrt{x + 4} + x - 32 - 8 \sqrt{x + 4} + 12$

Paso 5.2.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los términos opuestos en $20 + 8 \sqrt{x + 4} + x - 32 - 8 \sqrt{x + 4} + 12$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Resta $8 \sqrt{x + 4}$ de $8 \sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + x - 32 + 0 + 12$

Paso 5.2.4.1.2

Suma $20 + x - 32$ y $0$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + x - 32 + 12$

Paso 5.2.4.2

Resta $32$ de $20$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = x - 12 + 12$

Paso 5.2.4.3

Combina los términos opuestos en $x - 12 + 12$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Suma $- 12$ y $12$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = x + 0$

Paso 5.2.4.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (x^{2} - 8 x + 12)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{(x^{2} - 8 x + 12) + 4}$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Suma $12$ y $4$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{x^{2} - 8 x + 16}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.3.3.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{x^{2} - 8 x + 4^{2}}$

Paso 5.3.3.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Paso 5.3.3.2.3

Reescribe el polinomio.

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}$

Paso 5.3.3.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{{(x - 4)}^{2}}$

Paso 5.3.3.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + x - 4$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $4 + x - 4$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $4$ de $4$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x + 12$ es la inversa de $f (x) = 4 + \sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x + 12$