Precálculo Ejemplos

$f (x) = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$

Paso 1

Escribe $f (x) = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$ como una ecuación.

$y = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 5 \arcsin (5 y - 1) + 2$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $5 \arcsin (5 y - 1) + 2 = x$ .

$5 \arcsin (5 y - 1) + 2 = x$

Paso 3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$5 \arcsin (5 y - 1) = x - 2$

Paso 3.3

Divide cada término en $5 \arcsin (5 y - 1) = x - 2$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $5 \arcsin (5 y - 1) = x - 2$ por $5$ .

$\frac{5 \arcsin (5 y - 1)}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \arcsin (5 y - 1)}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $\arcsin (5 y - 1)$ por $1$ .

$\arcsin (5 y - 1) = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\arcsin (5 y - 1) = \frac{x}{5} - \frac{2}{5}$

Paso 3.4

Calcula la inversa del arcoseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del arcoseno.

$5 y - 1 = \sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})$

Paso 3.5

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$5 y = \sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1$

Paso 3.6

Divide cada término en $5 y = \sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.6.1

Divide cada término en $5 y = \sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Paso 3.6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$ es la inversa de $f (x) = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1) + 2}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1) + 2}{5} - \frac{2}{5}) + 1}{5}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1) + 2 - 2}{5}) + 1}{5}$

Paso 5.2.4.2

Combina los términos opuestos en $5 \arcsin (5 x - 1) + 2 - 2$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Resta $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1) + 0}{5}) + 1}{5}$

Paso 5.2.4.2.2

Suma $5 \arcsin (5 x - 1)$ y $0$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1)}{5}) + 1}{5}$

Paso 5.2.4.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1)}{5}) + 1}{5}$

Paso 5.2.4.3.2

Divide $\arcsin (5 x - 1)$ por $1$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\arcsin (5 x - 1)) + 1}{5}$

Paso 5.2.4.4

Las funciones seno y arcoseno son inversas.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{5 x - 1 + 1}{5}$

Paso 5.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.5.1

Combina los términos opuestos en $5 x - 1 + 1$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{5 x + 0}{5}$

Paso 5.2.5.1.2

Suma $5 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{5 x}{5}$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{5 x}{5}$

Paso 5.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (5 (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) - 1) + 2$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (5 (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1) + 2$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (5 (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1) + 2$

Paso 5.3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1) + 2$

Paso 5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1) + 2$

Paso 5.3.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1 - 1) + 2$

Paso 5.3.3.2

Combina los términos opuestos en $\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1 - 1$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 0) + 2$

Paso 5.3.3.2.2

Suma $\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})$ y $0$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})) + 2$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$ es la inversa de $f (x) = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$