Precálculo Ejemplos

$y = \frac{6}{9 x - 1}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{6}{9 y - 1}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{6}{9 y - 1} = x$ .

$\frac{6}{9 y - 1} = x$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$9 y - 1, 1$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$9 y - 1, 1$

Paso 2.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$9 y - 1$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $\frac{6}{9 y - 1} = x$ por $9 y - 1$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $\frac{6}{9 y - 1} = x$ por $9 y - 1$ .

$\frac{6}{9 y - 1} (9 y - 1) = x (9 y - 1)$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $9 y - 1$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6}{9 y - 1} (9 y - 1) = x (9 y - 1)$

Paso 2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$6 = x (9 y - 1)$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 2.3.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 = x (9 y) + x \cdot - 1$

Paso 2.3.3.1.2

Reordena.

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Paso 2.3.3.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 = 9 x y + x \cdot - 1$

Paso 2.3.3.1.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$6 = 9 x y - 1 \cdot x$

Paso 2.3.3.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$6 = 9 x y - x$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Reescribe la ecuación como $9 x y - x = 6$ .

$9 x y - x = 6$

Paso 2.4.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x y = 6 + x$

Paso 2.4.3

Divide cada término en $9 x y = 6 + x$ por $9 x$ y simplifica.

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Paso 2.4.3.1

Divide cada término en $9 x y = 6 + x$ por $9 x$ .

$\frac{9 x y}{9 x} = \frac{6}{9 x} + \frac{x}{9 x}$

Paso 2.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.3.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 2.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x y}{9 x} = \frac{6}{9 x} + \frac{x}{9 x}$

Paso 2.4.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y}{x} = \frac{6}{9 x} + \frac{x}{9 x}$

Paso 2.4.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.4.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{6}{9 x} + \frac{x}{9 x}$

Paso 2.4.3.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{6}{9 x} + \frac{x}{9 x}$

Paso 2.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.3.3.1.1

Cancela el factor común de $6$ y $9$ .

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Paso 2.4.3.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$y = \frac{3 (2)}{9 x} + \frac{x}{9 x}$

Paso 2.4.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.3.3.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $9 x$ .

$y = \frac{3 (2)}{3 (3 x)} + \frac{x}{9 x}$

Paso 2.4.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{3 \cdot 2}{3 (3 x)} + \frac{x}{9 x}$

Paso 2.4.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2}{3 x} + \frac{x}{9 x}$

Paso 2.4.3.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.4.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{2}{3 x} + \frac{x}{9 x}$

Paso 2.4.3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}$ es la inversa de $f (x) = \frac{6}{9 x - 1}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = \frac{2}{3 (\frac{6}{9 x - 1})} + \frac{1}{9}$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Combina $3$ y $\frac{6}{9 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = \frac{2}{\frac{3 \cdot 6}{9 x - 1}} + \frac{1}{9}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = \frac{2}{\frac{18}{9 x - 1}} + \frac{1}{9}$

Paso 4.2.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = 2 (\frac{9 x - 1}{18}) + \frac{1}{9}$

Paso 4.2.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.4.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = 2 (\frac{9 x - 1}{2 (9)}) + \frac{1}{9}$

Paso 4.2.3.4.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = 2 (\frac{9 x - 1}{2 \cdot 9}) + \frac{1}{9}$

Paso 4.2.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = \frac{9 x - 1}{9} + \frac{1}{9}$

Paso 4.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = \frac{9 x - 1 + 1}{9}$

Paso 4.2.4.2

Combina los términos opuestos en $9 x - 1 + 1$ .

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Paso 4.2.4.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = \frac{9 x + 0}{9}$

Paso 4.2.4.2.2

Suma $9 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = \frac{9 x}{9}$

Paso 4.2.4.3

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.2.4.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = \frac{9 x}{9}$

Paso 4.2.4.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{9 x - 1}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{9 (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) - 1}$

Paso 4.3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{9 (\frac{2}{3 x}) + 9 (\frac{1}{9}) - 1}$

Paso 4.3.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{3 (3) (\frac{2}{3 x}) + 9 (\frac{1}{9}) - 1}$

Paso 4.3.3.2.2

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{3 (3) (\frac{2}{3 (x)}) + 9 (\frac{1}{9}) - 1}$

Paso 4.3.3.2.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{3 \cdot (3 (\frac{2}{3 x})) + 9 (\frac{1}{9}) - 1}$

Paso 4.3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{3 (\frac{2}{x}) + 9 (\frac{1}{9}) - 1}$

Paso 4.3.3.3

Combina $3$ y $\frac{2}{x}$ .

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{\frac{3 \cdot 2}{x} + 9 (\frac{1}{9}) - 1}$

Paso 4.3.3.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{\frac{6}{x} + 9 (\frac{1}{9}) - 1}$

Paso 4.3.3.5

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.3.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{\frac{6}{x} + 9 (\frac{1}{9}) - 1}$

Paso 4.3.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{\frac{6}{x} + 1 - 1}$

Paso 4.3.3.6

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{\frac{6}{x} + 0}$

Paso 4.3.3.7

Suma $\frac{6}{x}$ y $0$ .

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = \frac{6}{\frac{6}{x}}$

Paso 4.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = 6 (\frac{x}{6})$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 4.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = 6 (\frac{x}{6})$

Paso 4.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}$ es la inversa de $f (x) = \frac{6}{9 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{3 x} + \frac{1}{9}$