Precálculo Ejemplos

$y = {(x - 2)}^{3}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = {(y - 2)}^{3}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como ${(y - 2)}^{3} = x$ .

${(y - 2)}^{3} = x$

Paso 2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y - 2 = \sqrt[3]{x}$

Paso 2.3

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \sqrt[3]{x} + 2$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} + 2$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} + 2$ es la inversa de $f (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(x - 2)}^{3})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3}) = \sqrt[3]{{(x - 2)}^{3}} + 2$

Paso 4.2.3

Elimina los paréntesis.

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3}) = \sqrt[3]{{(x - 2)}^{3}} + 2$

Paso 4.2.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3}) = x - 2 + 2$

Paso 4.2.5

Combina los términos opuestos en $x - 2 + 2$ .

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Paso 4.2.5.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3}) = x + 0$

Paso 4.2.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\sqrt[3]{x} + 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\sqrt[3]{x} + 2) = {((\sqrt[3]{x} + 2) - 2)}^{3}$

Paso 4.3.3

Combina los términos opuestos en $(\sqrt[3]{x} + 2) - 2$ .

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Paso 4.3.3.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (\sqrt[3]{x} + 2) = {(\sqrt[3]{x} + 0)}^{3}$

Paso 4.3.3.2

Suma $\sqrt[3]{x}$ y $0$ .

$f (\sqrt[3]{x} + 2) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Paso 4.3.4

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Paso 4.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{x} + 2) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Paso 4.3.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x} + 2) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Paso 4.3.4.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (\sqrt[3]{x} + 2) = x^{\frac{3}{3}}$

Paso 4.3.4.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[3]{x} + 2) = x^{\frac{3}{3}}$

Paso 4.3.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[3]{x} + 2) = x$

Paso 4.3.4.5

Simplifica.

$f (\sqrt[3]{x} + 2) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} + 2$ es la inversa de $f (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} + 2$