Precálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{2} - 2 x - 4$

Paso 1

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{- 2}{2 (3)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{- 2}{2 (3)}$

Paso 2.3

Simplifica $- \frac{- 2}{2 (3)}$ .

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 3$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 (3)}$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{- 1}{3}$

Paso 2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - - \frac{1}{3}$

Paso 2.3.3

Multiplica $- - \frac{1}{3}$ .

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 (\frac{1}{3})$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Paso 3

Evalúa $f (\frac{1}{3})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{3}) = 3 {(\frac{1}{3})}^{2} - 2 (\frac{1}{3}) - 4$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) - 2 (\frac{1}{3}) - 4$

Paso 3.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3^{2}}) - 2 (\frac{1}{3}) - 4$

Paso 3.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{9}) - 2 (\frac{1}{3}) - 4$

Paso 3.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 (3)}) - 2 (\frac{1}{3}) - 4$

Paso 3.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) - 2 (\frac{1}{3}) - 4$

Paso 3.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{3}) - 4$

Paso 3.2.1.5

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{- 2}{3} - 4$

Paso 3.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} - 4$

Paso 3.2.2

Combina fracciones.

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Paso 3.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{3}) = - 4 + \frac{1 - 2}{3}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.2.2.1

Resta $2$ de $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = - 4 + \frac{- 1}{3}$

Paso 3.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{3}) = - 4 - \frac{1}{3}$

Paso 3.2.3

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = - 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 3.2.4

Combina $- 4$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 3.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 4 \cdot 3 - 1}{3}$

Paso 3.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 12 - 1}{3}$

Paso 3.2.6.2

Resta $1$ de $- 12$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 13}{3}$

Paso 3.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{13}{3}$

Paso 3.2.8

La respuesta final es $- \frac{13}{3}$ .

$- \frac{13}{3}$

Paso 4

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(\frac{1}{3}, - \frac{13}{3})$

Paso 5