Precálculo Ejemplos

$g (x) = 2 x^{2} + 6 x + 3$

Paso 1

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{6}{2 (2)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{6}{2 (2)}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 (2)}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{3}{2}$

Paso 3

Evalúa $f (- \frac{3}{2})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{2}$ en la expresión.

$g (- \frac{3}{2}) = 2 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$g (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$g (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Paso 3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Paso 3.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2^{2}}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Paso 3.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{4}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Paso 3.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2 (2)}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Paso 3.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2 \cdot 2}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Paso 3.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Paso 3.2.1.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 6 (\frac{- 3}{2}) + 3$

Paso 3.2.1.7.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 2 (3) (\frac{- 3}{2}) + 3$

Paso 3.2.1.7.3

Cancela el factor común.

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2})) + 3$

Paso 3.2.1.7.4

Reescribe la expresión.

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 3 \cdot - 3 + 3$

Paso 3.2.1.8

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} - 9 + 3$

Paso 3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.2.1

Escribe $- 9$ como una fracción con el denominador $1$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9}{1} + 3$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{2}{2} + 3$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + 3$

Paso 3.2.2.4

Escribe $3$ como una fracción con el denominador $1$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1}$

Paso 3.2.2.5

Multiplica $\frac{3}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.2.2.6

Multiplica $\frac{3}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 3 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 + 3 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 + 6}{2}$

Paso 3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.5.1

Resta $18$ de $9$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 6}{2}$

Paso 3.2.5.2

Suma $- 9$ y $6$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Paso 3.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$g (- \frac{3}{2}) = - \frac{3}{2}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Paso 4

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(- \frac{3}{2}, - \frac{3}{2})$

Paso 5